Prova da fórmula de Herão

A fórmula de Herão é uma fórmula matemática usada para encontrar a área de um triângulo quando se conhecem os comprimentos de todos os três lados. Nomeada em homenagem ao engenheiro e matemático grego, Herão de Alexandria, esta fórmula é útil porque evita a necessidade de encontrar a altura do triângulo, o que nem sempre é fácil.

Compreendendo a fórmula

A fórmula de Herão afirma que, se os comprimentos dos lados de um triângulo são a, b e c, e s é o semiperímetro do triângulo (que é metade do perímetro), então a área A do triângulo é dada por:

    s = (a + b + c) / 2 A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Visualizando um triângulo

Para entender melhor a fórmula de Herão, vamos primeiro imaginar um triângulo. Abaixo está uma representação simples de um triângulo com seus lados rotulados:

Análise da fórmula

Para entender como a fórmula de Herão funciona, precisamos explorar sua derivação e ver como ela se relaciona com os princípios básicos da geometria. Vamos explorar os componentes um por um.

Passo 1: Calcular o semiperímetro

Primeiro, calculamos o semiperímetro do triângulo. O semiperímetro s é metade da soma dos três lados do triângulo:

    s = (a + b + c) / 2

Isso nos dá uma medida que está diretamente relacionada ao perímetro do triângulo, mas é mais fácil de calcular dividindo-a pela metade.

Passo 2: Calcular a área

A próxima parte da fórmula de Herão envolve somar raízes quadradas e várias subtrações e multiplicações:

    A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Aqui, (s - a), (s - b) e (s - c) são os termos que subtraímos do semiperímetro. Isso ocorre porque estamos essencialmente equilibrando a contribuição de cada lado do triângulo para a área.

Prova da fórmula de Herão

Uso de álgebra e identidades geométricas

Vamos derivar a fórmula de Herão usando geometria e álgebra. Começaremos com algumas fórmulas conhecidas e as manipularemos para obter o resultado de Herão.

Considere um triângulo cujos lados são a, b e c

A fórmula padrão para encontrar a área de um triângulo é:

    A = 1/2 * base * altura

No entanto, calcular a altura sem ângulos específicos ou informações adicionais pode ser incômodo. Em vez disso, usaremos a lei dos cossenos para expressar os ângulos em termos dos lados.

Derivando a derivada usando a lei dos cossenos

A lei dos cossenos é:

    c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Isso pode ser reorganizado para resolver o ângulo C:

    cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Envolvendo trigonometria

Usando metade dos comprimentos dos lados e o ângulo entre eles, calculamos a área:

    A = 1/2 * ab * sin(C)

De acordo com a identidade pitagórica, sin^2(C) = 1 - cos^2(C) Substituindo e simplificando isso com a expressão anterior para cos(C), obtemos uma fórmula semelhante à de Herão.

Conectando tudo

Por fim, ao expandir e simplificar as expressões obtidas usando as identidades do cosseno e do seno, chegamos a uma expressão que pode ser simplificada para coincidir com a forma da fórmula de Herão. Isso envolve alguns passos de manipulação algébrica e é o resultado de integrar todas essas entradas em uma única expressão.

Após uma álgebra trabalhosa, mas simples (que envolve expandir os termos, remover parênteses e recombiná-los), chegamos à fórmula de Herão:

    A = √(s * (sa) * (sb) * (sc))

Exemplos da fórmula de Herão

Para ver a fórmula de Herão em ação, vamos considerar exemplos práticos usando medidas típicas de triângulo.

Exemplo 1

Suponha que temos um triângulo com lados a = 7, b = 8 e c = 9 Calcule a área usando a fórmula de Herão.

Primeiro, encontre o semiperímetro s:

    s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12

Em seguida, calcule a área A:

    A = √(12 * (12 - 7) * (12 - 8) * (12 - 9)) = √(12 * 5 * 4 * 3) = √720 ≈ 26.83

Portanto, a área do triângulo é aproximadamente 26.83 unidades quadradas.

Exemplo 2

Considere outro triângulo com lados a = 5, b = 6 e c = 7.

Calcule s:

    s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9

Agora, encontre a área A:

    A = √(9 * (9 - 5) * (9 - 6) * (9 - 7)) = √(9 * 4 * 3 * 2) = √216 ≈ 14.70

Portanto, a área desse triângulo é cerca de 14.70 unidades quadradas.

Por que a fórmula de Herão é importante?

A fórmula de Herão nos permite encontrar a área de um triângulo usando apenas os comprimentos de seus lados. Isso é especialmente útil em situações onde é difícil medir a altura diretamente ou ao trabalhar com coordenadas.

Como requer apenas operações aritméticas básicas e raízes quadradas, pode ser realizada sem equipamentos ou tecnologia avançados, tornando-a uma ferramenta valiosa tanto na sala de aula quanto no campo.

A fórmula de Herão é um belo exemplo de beleza matemática, transformando um problema geométrico em um cálculo algébrico simples. A fórmula mostra como diferentes áreas da matemática podem se unir para resolver problemas do mundo real de forma eficiente e confiável.

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