Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Demostración de la fórmula de Herón


La fórmula de Herón es una fórmula matemática utilizada para encontrar el área de un triángulo cuando se conocen las longitudes de sus tres lados. Nombrada en honor al ingeniero y matemático griego, Hero de Alejandría, esta fórmula es útil porque evita la necesidad de encontrar la altura del triángulo, lo cual no siempre es fácil.

Comprendiendo la fórmula

La fórmula de Herón establece que si las longitudes de los lados de un triángulo son a, b, y c, y s es el semiperímetro del triángulo (que es la mitad del perímetro), entonces el área A del triángulo se da por:

    s = (a + b + c) / 2 A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Visualizando un triángulo

Para entender mejor la fórmula de Herón, primero imaginemos un triángulo. A continuación se muestra una representación simple de un triángulo con sus lados etiquetados:

C A B

Un triángulo con lados a, b y c.

Análisis de la fórmula

Para entender cómo funciona la fórmula de Herón, necesitamos explorar su derivación y ver cómo se relaciona con los principios básicos de la geometría. Veamos los componentes uno por uno.

Paso 1: Calcular el semiperímetro

Primero, calculamos el semiperímetro del triángulo. El semiperímetro s es la mitad de la suma de los tres lados del triángulo:

    s = (a + b + c) / 2

Esto nos da una medida que está directamente relacionada con el perímetro del triángulo, pero es más fácil de calcular al dividirla por dos.

Paso 2: Calcular el área

La siguiente parte de la fórmula de Herón involucra sumas de raíces cuadradas y varias restas y multiplicaciones:

    A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Aquí, (s - a), (s - b) y (s - c) son los términos que restamos del semiperímetro. Esto se debe a que esencialmente estamos equilibrando la contribución de cada lado del triángulo al área.

Demostración de la fórmula de Herón

Uso de identidades algebraicas y geométricas

Derivemos la fórmula de Herón usando geometría y álgebra. Comenzaremos con algunas fórmulas conocidas y las manipularemos para obtener el resultado de Herón.

Consideremos un triángulo cuyos lados son a, b y c

La fórmula estándar para encontrar el área de un triángulo es:

    A = 1/2 * base * altura

Sin embargo, calcular la altura sin ángulos específicos o información adicional puede ser engorroso. En cambio, usaremos la regla del coseno para expresar los ángulos en términos de los lados.

Derivando la derivada usando la regla del coseno

La regla del coseno es:

    c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Esto se puede reorganizar para resolver el ángulo C:

    cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Involucrando trigonometría

Usando la mitad de las longitudes de los lados y el ángulo entre ellos, calculamos el área:

    A = 1/2 * ab * sin(C)

Según la identidad pitagórica, sin^2(C) = 1 - cos^2(C) Sustituyendo y simplificando estas con la expresión anterior para cos(C) obtenemos una fórmula similar a la de Herón.

Conectándolo todo

En última instancia, al expandir y simplificar las expresiones obtenidas usando las identidades del coseno y del seno, llegamos a una expresión que puede simplificarse para coincidir con la forma de la fórmula de Herón. Esto involucra algunos pasos de manipulación algebraica y es el resultado de integrar todas estas entradas en una sola expresión.

Después de algo de álgebra laboriosa pero simple (que involucra expandir los términos, eliminar paréntesis y combinarlos), obtenemos la fórmula de Herón:

    A = √(s * (sa) * (sb) * (sc))

Ejemplos de la fórmula de Herón

Para ver la fórmula de Herón en acción, consideremos ejemplos prácticos utilizando medidas típicas de triángulos.

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos un triángulo con lados a = 7, b = 8 y c = 9 Calculemos el área usando la fórmula de Herón.

Primero, encontremos el semiperímetro s:

    s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12

Luego calculemos el área A:

    A = √(12 * (12 - 7) * (12 - 8) * (12 - 9)) = √(12 * 5 * 4 * 3) = √720 ≈ 26.83

Por lo tanto, el área del triángulo es aproximadamente 26.83 unidades cuadradas.

Ejemplo 2

Consideremos otro triángulo con lados a = 5, b = 6, y c = 7.

Calculemos s:

    s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9

Ahora encontremos el área A:

    A = √(9 * (9 - 5) * (9 - 6) * (9 - 7)) = √(9 * 4 * 3 * 2) = √216 ≈ 14.70

Entonces, el área de este triángulo es aproximadamente 14.70 unidades cuadradas.

¿Por qué es importante la fórmula de Herón?

La fórmula de Herón nos permite encontrar el área de un triángulo utilizando solo las longitudes de sus lados. Esto es especialmente útil en situaciones donde es difícil medir directamente la altura o al trabajar con coordenadas.

Dado que solo requiere operaciones aritméticas básicas y raíces cuadradas, se puede realizar sin equipo o tecnología avanzada, convirtiéndola en una herramienta valiosa tanto en el aula como en el campo.

La fórmula de Herón es un hermoso ejemplo de la belleza matemática, convirtiendo un problema geométrico en un cálculo algebraico simple. La fórmula muestra cómo diferentes áreas de las matemáticas pueden unirse para resolver problemas del mundo real de manera eficiente y confiable.


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