Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros

A fórmula de Herão é uma fórmula matemática incrível usada para encontrar a área de um triângulo quando você conhece os comprimentos de todos os três lados. Ao contrário da maneira tradicional de encontrar a área de um triângulo usando a base e a altura, a fórmula de Herão permite calcular a área sem precisar conhecer a altura. Isso pode ser especialmente útil em situações onde medir a altura é difícil ou impossível.

Compreendendo a fórmula de Herão

Para aplicar a fórmula de Herão, você precisa saber os comprimentos dos três lados do triângulo. Vamos chamar esses lados de a, b e c. A fórmula de Herão envolve um cálculo em duas etapas:

1. Primeiro, calcule o semiperímetro s do triângulo. Este é metade da soma dos lados do triângulo:

s = (a + b + c) / 2

2. Em seguida, use o semiperímetro para calcular a área A do triângulo:

A = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

Vamos simplificar e entender esta fórmula com alguns exemplos.

Exemplo: Encontrando a área de um triângulo

Considere um triângulo com lados a = 7 unidades, b = 8 unidades e c = 5 unidades. Veja como você usaria a fórmula de Herão para encontrar sua área:

1. Calcule o semiperímetro:

s = (7 + 8 + 5) / 2 = 10

2. Substitua os valores na fórmula de Herão:

A = √(10(10 - 7)(10 - 8)(10 - 5))

A = √(10 × 3 × 2 × 5)

A = √(300)

A ≈ 17,32 unidades quadradas

A área deste triângulo é aproximadamente 17,32 unidades quadradas.

Aplicando a fórmula de Herão a diferentes tipos de triângulos

Embora a fórmula de Herão possa ser usada para qualquer triângulo, vamos ver como ela se aplica a diferentes tipos de triângulos, como triângulos equiláteros, isósceles e escaleno.

Triângulo equilátero

Todos os três lados de um triângulo equilátero são iguais. Deixe cada lado do triângulo equilátero ser s. Para um triângulo equilátero:

• a = b = c = s

O semiperímetro s será:

s = (s + s + s) / 2 = 3s/2

A área será:

A = √((3s/2) * (3s/2 - s) * (3s/2 - s) * (3s/2 - s))

A = √((3s/2) * (s/2) * (s/2) * (s/2))

A = (s²√3)/4

Assim, a fórmula de Herão fornece o resultado necessário para a área de um triângulo equilátero de forma muito bonita.

Triângulo isósceles

Um triângulo isósceles tem dois lados iguais. Deixe esses lados iguais serem a e a base seja b:

• a = a
• B = base

O semiperímetro s é:

s = (a + a + b) / 2 = (2a + b) / 2

A área é calculada da seguinte forma:

A = √((s) * (s - a) * (s - a) * (s - b))

Esta fórmula lhe dá a área com os mesmos passos de antes, mas note que ela simplifica facilmente quando a = b, confirmando e simplificando a área como geralmente deve ser.

Triângulo escaleno

Um triângulo escaleno é um triângulo em que todos os lados são de comprimentos diferentes. A fórmula de Herão pode ser aplicada diretamente a triângulos escalenos sem qualquer transformação ou redução, destacando a flexibilidade desse método.

• a, b, c - todos os comprimentos diferentes

Use as mesmas fórmulas de semiperímetro e área de antes, aplicando os valores diretamente para encontrar a área:

s = (a + b + c) / 2

A = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

Aplicando a fórmula de Herão a quadriláteros

Você pode achar isso surpreendente, mas a fórmula de Herão também pode ajudar com alguns quadriláteros. Se você pode dividir um quadrilátero em dois triângulos, pode usar a fórmula de Herão para encontrar a área desses triângulos. A maneira mais simples de fazer isso geralmente é desenhar uma diagonal.

Exemplo: Encontrando a área de um quadrilátero

Considere o quadrilátero ABCD. Se você desenhar uma diagonal AC, cria dois triângulos: ABC e ACD. Você pode encontrar a área do quadrilátero ABCD calculando as áreas desses dois triângulos e somando-as.

1. Use a fórmula de Herão para encontrar a área do triângulo ABC.
2. Use a fórmula de Herão para encontrar a área do triângulo ACD.
3. Para encontrar a área do quadrilátero ABCD, some as duas áreas.

Vamos entender isso com um exemplo numérico:

Deixe os comprimentos dos lados do quadrilátero serem: AB = 8 unidades, BC = 6 unidades, CD = 7 unidades, DA = 5 unidades, e o comprimento de uma diagonal AC é 9 unidades.

Encontre a área do triângulo ABC:

s1 = (8 + 6 + 9) / 2 = 11,5

Área_ABC = √(11,5(11,5 - 8)(11,5 - 6)(11,5 - 9))

Área_ABC = √(11,5 × 3,5 × 5,5 × 2,5)

Área_ABC = √(553,3125)

Área_ABC ≈ 23,52 unidades quadradas

Encontre a área do triângulo ACD:

s2 = (9 + 7 + 5) / 2 = 10,5

Área_ACD = √(10,5(10,5 - 9)(10,5 - 7)(10,5 - 5))

Área_ACD = √(10,5 × 1,5 × 3,5 × 5,5)

Área_ACD = √(302,0625)

Área_ACD ≈ 17,38 unidades quadradas

Para encontrar a área do quadrilátero, soma-se as áreas dos dois triângulos:

Área_Quadrilátero = Área_ABC + Área_ACD

Área_Quadrilátero ≈ 23,52 + 17,38 ≈ 40,9 unidades quadradas

A área do quadrilátero ABCD é de aproximadamente 40,9 unidades quadradas.

Conclusão e aplicações adicionais

A fórmula de Herão é importante não apenas porque fornece uma maneira simples de calcular a área de um triângulo usando apenas seus lados, mas também porque fornece uma técnica matemática que pode ser estendida para resolver problemas complexos envolvendo diferentes tipos de triângulos e até quadriláteros específicos. Na prática, ao lidar com problemas geométricos, a fórmula de Herão dá a você o poder de calcular intuitivamente áreas sem construções adicionais, como alturas.

Essa flexibilidade e simplicidade conceitual permitem que a fórmula de Herão continue sendo uma constante em matemática, engenharia, física e muitas outras áreas onde cálculos geométricos são necessários. Com mais prática e exploração, soluções mais elegantes para a geometria podem ser criadas usando o princípio de Herão sempre que aplicável.

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