さまざまな三角形と四角形に対するヘロンの公式の使用

ヘロンの公式は、3辺の長さがわかっているときに三角形の面積を見つけるための驚くべき数学的公式です。底辺と高さを使用して三角形の面積を求める従来の方法とは異なり、ヘロンの公式を使用すると、高さを知らなくても面積を計算できます。これは、高さを測定することが難しいまたは不可能な状況で特に役立ちます。

ヘロンの公式の理解

ヘロンの公式を適用するには、三角形の3辺の長さを知っている必要があります。これらの辺をa、b、cと呼びましょう。ヘロンの公式は、2段階の計算を含みます:

1. まず、三角形の半周長sを計算します。これは三角形の辺の総和の半分です:

s = (a + b + c) / 2

2. 次に、半周長を使用して三角形の面積Aを計算します:

A = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

いくつかの例でこの公式を簡単にして理解しましょう。

例: 三角形の面積を求める

辺a = 7単位、b = 8単位、c = 5単位の三角形を考えます。ヘロンの公式を使用してその面積を求める方法は次のとおりです:

1. 半周長を計算します：

s = (7 + 8 + 5) / 2 = 10

2. ヘロンの公式に値を代入します：

A = √(10(10 - 7)(10 - 8)(10 - 5))

A = √(10 × 3 × 2 × 5)

A = √(300)

A ≈ 17.32平方単位

この三角形の面積はおおよそ17.32平方単位です。

さまざまな三角形へのヘロンの公式の適用

ヘロンの公式はどんな三角形にも使用できますが、正三角形、二等辺三角形、スカレン三角形のようなさまざまなタイプの三角形にどのように適用されるかを見てみましょう。

正三角形

正三角形の3辺はすべて等しいです。正三角形の各辺をsとしましょう。正三角形の場合:

• a = b = c = s

半周長sは次のようになります:

s = (s + s + s) / 2 = 3s/2

面積は次のようになります:

A = √((3s/2) * (3s/2 - s) * (3s/2 - s) * (3s/2 - s))

A = √((3s/2) * (s/2) * (s/2) * (s/2))

A = (s²√3)/4

したがって、ヘロンの公式は、正三角形の面積に必要な結果を非常に美しく与えます。

二等辺三角形

二等辺三角形には2つの等しい辺があります。これらの等しい辺をa、底辺をbとします:

• a = a
• B = 底辺

半周長sは次のようになります:

s = (a + a + b) / 2 = (2a + b) / 2

面積は次のように計算されます:

A = √((s) * (s - a) * (s - a) * (s - b))

この公式は、a = bの場合に、通常のように面積を確認し、簡略化してくれることに注意してください。

スカレン三角形

スカレン三角形は、すべての辺が異なる長さの三角形です。ヘロンの公式は、変換や簡略化なしでスカレン三角形に直接適用でき、この方法の柔軟性を強調します。

• a, b, c - すべて異なる長さ

同じ半周長と面積の公式を使用し、値を直接適用して面積を求めます:

s = (a + b + c) / 2

A = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

四角形へのヘロンの公式の適用

驚くかもしれませんが、ヘロンの公式は一部の四角形にも役立ちます。四角形を2つの三角形に分割できる場合、その三角形の面積を見つけるためにヘロンの公式を使用できます。この最も簡単な方法は通常、対角線を描くことです。

例: 四角形の面積を求める

四角形ABCDを考えます。対角線ACを描くと、三角形ABCとACDが作成されます。これらの2つの三角形の面積を計算し、それらを加えることで四角形ABCDの面積を見つけることができます。

1. 三角形ABCの面積を求めるためにヘロンの公式を使用します。
2. 三角形ACDの面積を求めるためにヘロンの公式を使用します。
3. 四角形ABCDの面積を求めるために、2つの面積を加えます。

数値例で理解しましょう:

四角形の辺の長さをそれぞれ: AB = 8 単位, BC = 6 単位, CD = 7 単位, DA = 5 単位、および1本の対角線ACの長さを9 単位とします。

三角形ABCの面積を求める:

s1 = (8 + 6 + 9) / 2 = 11.5

Area_ABC = √(11.5(11.5 - 8)(11.5 - 6)(11.5 - 9))

Area_ABC = √(11.5 × 3.5 × 5.5 × 2.5)

Area_ABC = √(553.3125)

Area_ABC ≈ 23.52平方単位

三角形ACDの面積を求める:

s2 = (9 + 7 + 5) / 2 = 10.5

Area_ACD = √(10.5(10.5 - 9)(10.5 - 7)(10.5 - 5))

Area_ACD = √(10.5 × 1.5 × 3.5 × 5.5)

Area_ACD = √(302.0625)

Area_ACD ≈ 17.38平方単位

四角形の面積を求めるために、2つの三角形の面積を加えます:

Area_Quadrilateral = Area_ABC + Area_ACD

Area_Quadrilateral ≈ 23.52 + 17.38 ≈ 40.9平方単位

四角形ABCDの面積は約40.9平方単位です。

結論とさらなる応用

ヘロンの公式は、その辺だけを使用して三角形の面積を簡単に計算できるだけでなく、異なるタイプの三角形や特定の四角形にも適用できる数学的技法を提供しているため、重要です。実際に幾何学の問題を扱うとき、ヘロンの公式は、高さなどの追加の構造を必要とせずに面積を直感的に計算する力を与えてくれます。

この柔軟性と概念のシンプルさのおかげで、ヘロンの公式は数学、工学、物理学、その他多くの分野で必要な幾何学計算において不可欠なものとして利用されています。さらなる練習と探求により、ヘロンの原理を適用できる場所で、幾何学のためのより優雅な解決策が作成されることでしょう。

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