Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros

La fórmula de Herón es una fórmula matemática increíble utilizada para encontrar el área de un triángulo cuando conoces las longitudes de los tres lados. A diferencia del método tradicional de encontrar el área de un triángulo usando la base y la altura, la fórmula de Herón te permite calcular el área sin necesidad de conocer la altura. Esto puede ser especialmente útil en situaciones donde medir la altura es difícil o imposible.

Entendiendo la fórmula de Herón

Para aplicar la fórmula de Herón, necesitas conocer las longitudes de los tres lados del triángulo. Llamemos a estos lados a, b y c. La fórmula de Herón implica un cálculo en dos pasos:

1. Primero, calcula el semiperímetro s del triángulo. Este es la mitad de la suma de los lados del triángulo:

s = (a + b + c) / 2

2. Luego, usa el semiperímetro para calcular el área A del triángulo:

A = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

Vamos a simplificar y entender esta fórmula con algunos ejemplos.

Ejemplo: Encontrando el área de un triángulo

Considera un triángulo con lados a = 7 unidades, b = 8 unidades, y c = 5 unidades. Así es cómo usarías la fórmula de Herón para encontrar su área:

1. Calcula el semiperímetro:

s = (7 + 8 + 5) / 2 = 10

2. Introduce los valores en la fórmula de Herón:

A = √(10(10 - 7)(10 - 8)(10 - 5))

A = √(10 × 3 × 2 × 5)

A = √(300)

A ≈ 17.32 unidades cuadradas

El área de este triángulo es aproximadamente 17.32 unidades cuadradas.

Aplicando la fórmula de Herón a diferentes tipos de triángulos

Aunque la fórmula de Herón puede usarse para cualquier triángulo, veamos cómo se aplica a diferentes tipos de triángulos, como los triángulos equiláteros, isósceles y escalenos.

Triángulo equilátero

Todos los lados de un triángulo equilátero son iguales. Dejemos que cada lado del triángulo equilátero sea s. Para un triángulo equilátero:

• a = b = c = s

El semiperímetro s será:

s = (s + s + s) / 2 = 3s/2

El área será:

A = √((3s/2) * (3s/2 - s) * (3s/2 - s) * (3s/2 - s))

A = √((3s/2) * (s/2) * (s/2) * (s/2))

A = (s²√3)/4

Así, la fórmula de Herón da el resultado requerido para el área de un triángulo equilátero de manera muy hermosa.

Triángulo isósceles

Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales. Dejemos que estos lados iguales sean a y que la base sea b:

• a = a
• B = base

El semiperímetro s es:

s = (a + a + b) / 2 = (2a + b) / 2

El área se calcula de la siguiente manera:

A = √((s) * (s - a) * (s - a) * (s - b))

Esta fórmula te da el área con los mismos pasos que antes, pero ten en cuenta que se simplifica fácilmente cuando a = b, confirmando y simplificando el área como usualmente debería.

Triángulo escaleno

Un triángulo escaleno es un triángulo en el que todos los lados son de diferentes longitudes. La fórmula de Herón se puede aplicar directamente a triángulos escalenos sin ninguna transformación o reducción, resaltando la flexibilidad de este método.

• a, b, c - todas longitudes diferentes

Usa las mismas fórmulas de semiperímetro y área como antes, aplicando los valores directamente para encontrar el área:

s = (a + b + c) / 2

A = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

Aplicando la fórmula de Herón a cuadriláteros

Puedes encontrar esto sorprendente, pero la fórmula de Herón también puede ayudar con algunos cuadriláteros. Si puedes dividir un cuadrilátero en dos triángulos, puedes usar la fórmula de Herón para encontrar el área de esos triángulos. La forma más sencilla de hacer esto suele ser dibujar una diagonal.

Ejemplo: Encontrando el área de un cuadrilátero

Considera el cuadrilátero ABCD. Si dibujas una diagonal AC, creas dos triángulos: ABC y ACD. Puedes encontrar el área del cuadrilátero ABCD calculando las áreas de estos dos triángulos y sumándolas.

1. Usa la fórmula de Herón para encontrar el área del triángulo ABC.
2. Usa la fórmula de Herón para encontrar el área del triángulo ACD.
3. Para encontrar el área del cuadrilátero ABCD, suma las dos áreas.

Vamos a entender esto con un ejemplo numérico:

Sea las longitudes de los lados del cuadrilátero: AB = 8 unidades, BC = 6 unidades, CD = 7 unidades, DA = 5 unidades, y la longitud de una diagonal AC es 9 unidades.

Encuentra el área del triángulo ABC:

s1 = (8 + 6 + 9) / 2 = 11.5

Área_ABC = √(11.5(11.5 - 8)(11.5 - 6)(11.5 - 9))

Área_ABC = √(11.5 × 3.5 × 5.5 × 2.5)

Área_ABC = √(553.3125)

Área_ABC ≈ 23.52 unidades cuadradas

Encuentra el área del triángulo ACD:

s2 = (9 + 7 + 5) / 2 = 10.5

Área_ACD = √(10.5(10.5 - 9)(10.5 - 7)(10.5 - 5))

Área_ACD = √(10.5 × 1.5 × 3.5 × 5.5)

Área_ACD = √(302.0625)

Área_ACD ≈ 17.38 unidades cuadradas

Para encontrar el área del cuadrilátero, suma las áreas de los dos triángulos:

Área_Cuadrilátero = Área_ABC + Área_ACD

Área_Cuadrilátero ≈ 23.52 + 17.38 ≈ 40.9 unidades cuadradas

El área del cuadrilátero ABCD es aproximadamente 40.9 unidades cuadradas.

Conclusión y aplicaciones adicionales

La fórmula de Herón es importante no solo porque proporciona una forma sencilla de calcular el área de un triángulo usando solo sus lados, sino que también proporciona una técnica matemática que se puede extender para resolver problemas complejos que involucran diferentes tipos de triángulos e incluso cuadriláteros específicos. En la práctica, cuando se trata con problemas geométricos, la fórmula de Herón te da el poder de calcular intuitivamente áreas sin construcciones adicionales como alturas.

Esta flexibilidad y simplicidad conceptual permite que la fórmula de Herón siga siendo un elemento básico en matemáticas, ingeniería, física y muchos otros campos donde los cálculos geométricos son necesarios. Con más práctica y exploración, se pueden crear soluciones más elegantes a la geometría usando el principio de Herón donde sea aplicable.

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