9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Construção de bissetriz


Bem-vindo ao fascinante mundo da geometria! Neste artigo, exploraremos o conceito de construir bissetrizes. As bissetrizes são fundamentais na geometria e entender como construí-las nos ajuda a apreciar a beleza da precisão matemática. Vamos mergulhar!

Entendendo a bissetriz

Na geometria, uma bissetriz refere-se a uma linha, raio ou segmento que divide outra figura em duas partes iguais. Os tipos mais comuns de bissetrizes incluem bissetrizes de segmentos de linha e bissetrizes de ângulos. Nosso foco principal será aprender como construir essas bissetrizes com precisão usando ferramentas básicas como régua e compasso.

Ferramentas para construção

Para construir com sucesso uma bissetriz, você precisará de algumas ferramentas essenciais:

  • Um compasso, que ajuda a desenhar arcos e círculos.
  • Uma régua ou linha reta, usada para desenhar linhas retas.
  • Um lápis, para marcar pontos e desenhar linhas.

Construindo uma bissetriz de segmento de linha

Vamos primeiro aprender como construir uma bissetriz de segmento de linha. Uma bissetriz de segmento de linha é uma linha ou segmento que corta outro segmento de linha em duas partes iguais e forma um ângulo reto (90 graus) com ele.

Exemplo: Bissecção de um segmento de linha

Suponha que você tenha um segmento de linha AB. Veja como bissectá-lo:

  1. Coloque a ponta do compasso em uma extremidade do segmento de linha A e desenhe um arco em ambos os lados do segmento de linha.
  2. Sem alterar a abertura do compasso, repita os mesmos passos a partir da outra extremidade B. Os arcos se intersectarão no topo e na parte inferior do segmento de linha.
  3. Marque os pontos de interseção dos arcos com C e D.
  4. Use uma régua para desenhar uma linha reta através desses pontos C e D.
  5. Este segmento de linha CD é a bissetriz perpendicular de AB.
    Representação SVG do segmento de linha AB e sua linha bissetora CD:
    
    A
    B
    
    
    
    C
    D

Construindo uma bissetriz de ângulo

Em seguida, aprenderemos a construir uma bissetriz de ângulo. Uma bissetriz de ângulo é uma linha que divide um ângulo em dois ângulos iguais. Esta construção é útil para resolver vários problemas em geometria, onde os ângulos devem ser iguais.

Exemplo: Bissecção de um ângulo

Suponha que você tenha um ângulo ∠ABC. Siga estas etapas para bissectá-lo:

  1. Coloque a ponta do compasso no vértice B do ângulo.
  2. Desenhe um arco que intersecta ambos os lados do ângulo AB e BC. Marque os pontos de interseção com X e Y.
  3. Mantendo o compasso em X, desenhe um arco dentro do ângulo.
  4. Repita o mesmo arco a partir do ponto Y, garantindo que ambos os arcos se intersectem. Marque o ponto de interseção com Z.
  5. Desenhe uma linha reta do vértice B ao ponto Z.
  6. Esta linha BZ é a bissetriz do ângulo ∠ABC.
    Representação SVG do ângulo ∠ABC e sua linha bissetora BZ:
    
    
    A
    C
    B
    
    
    
    Z

Por que é importante construir uma bissetriz?

Construir uma bissetriz é importante em muitas áreas da geometria. Isso porque:

  • Simetria e Equilíbrio: As bissetrizes ajudam a estabelecer simetria ao garantir que formas e ângulos sejam divididos de maneira uniforme, o que ajuda a entender o equilíbrio no design.
  • Médianas em Triângulos: O conceito de bissetrizes de ângulo é importante ao trabalhar com medianas ou encontrar o ponto em que elas se intersectam, que é o centróide do triângulo.
  • Medição e Propriedades: Com a ajuda das bissetrizes, podemos obter medições precisas que de outra forma seriam complicadas e aprender mais sobre as propriedades de várias formas geométricas.
  • Resolução de Problemas: As bissetrizes são frequentemente usadas em problemas geométricos combinados, onde os comprimentos dos segmentos ou os valores dos ângulos precisam ser iguais.

A prática leva à perfeição

A prática é essencial para dominar a construção de bissetrizes. Aqui estão alguns exercícios que você pode tentar:

Exercício 1: Bissecção dos ângulos de um triângulo

Desenhe um triângulo e bissecte cada um de seus ângulos internos. Confirme se as bissetrizes se encontram em um ponto, conhecido como incentro. Este ponto é o centro do círculo inscrito no triângulo.

Exercício 2: Bissetriz perpendicular em um quadrilátero

Desenhe um quadrilátero qualquer e escolha um par de lados opostos. Desenhe bissetrizes perpendiculares para esses pares e observe se elas se intersectam.

Considerações finais

Compreender e construir bissetrizes é uma habilidade fundamental na geometria que aprimora o raciocínio espacial e as habilidades de resolução de problemas. Quer você esteja bissectando linhas ou ângulos, as técnicas permanecem em grande parte as mesmas e fornecem uma base para explorar conceitos geométricos mais complexos. Desfrute da construção!


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