कक्षा 9
  1. संख्या प्रणाली  1.1. वास्तविक संख्याओं की समझ  1.2. त्रैशिक संख्याएँ  1.3. अयुक्त रेखा वाले संख्या  1.4. वास्तविक संख्याओं के गुण  1.5. घातांक और मूलभूतों के नियम  1.6. संख्या रेखा पर प्रतिनिनिधित्व  1.7. वास्तविक संख्याओं का दशमलव रूप
  2. बहुपद  2.1. बहुपदों की परिभाषा और प्रकार  2.2. बहुपद की डिग्री  2.3. बहुपद के शून्य  2.4. शेषफल प्रमेय का परिचय  2.5. बहुपदों का गुणनखंडन  2.6. बीजगणितीय पहचान को समझना  2.7. बहुपद समीकरण और जड़ें
  3. निर्देशांक ज्यामिति  3.1. कार्टेशियन प्रणाली  3.2. समतल पर बिंदु बनाना  3.3. निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र को समझना  3.4. सेक्शन सूत्र  3.5. त्रिभुज का क्षेत्रफल  3.6. मध्य बिंदु और सेंटरॉइड के निर्देशांक
  4. दो चर में रैखिक समीकरण  4.1. रेखीय समीकरणों के समाधान  4.2. ग्राफिकल विधि  4.3. दो चरों में रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए बीजीय विधि  4.4. दो चरों में रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग की समझ  4.5. दो चरों में रैखिक असमताओं का परिचय
  5. यूक्लिडियन ज्यामिति का परिचय  5.1. यूक्लिडीय ज्यामिति में मूल परिभाषाएँ और शब्द  5.2. स्वयंसिद्ध और स्वयंसिद्धियाँ  5.3. कोण और रेखाओं पर प्रमेय  5.4. समानांतर रेखाओं के गुण  5.5. त्रिभुजों का निर्माण  5.6. समरूपता प्रमेय
  6. रेखाएँ और कोण  6.1. कोण युग्म संबंधों को समझना  6.2. समानांतर रेखाएँ और अनुप्रस्थ रेखाएँ  6.3. समानांतर रेखाओं द्वारा निर्मित कोणों के गुण  6.4. त्रिभुज का कोण योग गुण  6.5. कोणों के प्रकार
  7. त्रिभुज  7.1. त्रिबुजों की संरूपता  7.2. त्रिभुजों में सर्वांगसमता के मापदंड  7.3. त्रिभुजों के गुण  7.4. त्रिभुज में विषमताएँ  7.5. त्रिभुजों की समानता  7.6. पाइथागोरस प्रमेय
  8. चतुर्भुज  8.1. चतुर्भुजों के गुण  8.2. चतुर्भुजों के प्रकार  8.3. चतुर्भुजों में मध्यबिंदु प्रमेय  8.4. समांतर चतुर्भुज के गुण  8.5. ट्रेपेज़ॉइड और पतंग की विशेषताएँ  8.6. विकर्ण और उनके गुण
  9. चतुर्भुज और त्रिभुज के क्षेत्रफल  9.1. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल  9.2. त्रिभुज के क्षेत्रफल को समझना  9.3. फील्ड थ्योरी के प्रमाण  9.4. क्षेत्र सिद्धांत के अनुप्रयोग
  10. वृत्त का समझना  10.1. परिभाषाएँ और शर्तें  10.2. वृत्त के गुण  10.3. वृत्तों में जीव के गुणधर्म को समझना  10.4. वृत्त की स्पर्श रेखाएँ  10.5. चक्रवृत्तीय चतुर्भुज  10.6. वृत्तों में स्थित चाप और कोणों की समझ
  11. निर्माण  11.1. मूल निर्माण  11.2. द्विभाजन रेखा के निर्माण  11.3. त्रिभुजों का निर्माण  11.4. वृत्त के स्पर्श रेखा का निर्माण  11.5. दिए गए माप के कोणों का निर्माण
  12. हीरोन के सूत्र को समझना  12.1. हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल  12.2. विभिन्न त्रिभुजों और चतुर्भुजों के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग  12.3. हेरोन के सूत्र का प्रमाण
  13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन  13.1. घन, घनाभ और बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल  13.2. घन, घनाभ और सिलेंडर का आयतन  13.3. शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन  13.4. गोला और अर्धगोला का पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन  13.5. इकाईयों का परिवर्तन  13.6. प्रिज्म का आयतन
  14. आकृतियाँ  14.1. डेटा का संग्रहण  14.2. डेटा प्रस्तुति  14.3. मध्य प्रवृत्ति के माप का परिचय  14.4. माध्य, माध्यिका और मोड  14.5. डेटा का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व  14.6. विचलन की सीमा और मापन
  15. संभाव्यता को समझना  15.1. प्रायिकता का परिचय  15.2. प्रायोगिक संभावना  15.3. सैद्धांतिक प्रायिकता  15.4. प्रायिकता पर सरल समस्याएँ

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मूल निर्माण


गणित में, निर्माण का अर्थ होता है सटीक रूप से आकृतियाँ, कोण या रेखाएँ खींचना। ये निर्माण आमतौर पर एक कंपास, सीधा एज (पत्थर) या प्रोट्रैक्टर जैसे उपकरणों की सहायता से किए जाते हैं। निर्माण की सुन्दरता इसमें है कि यह आकृतियों और कोणों को किसी भी संख्या मापन के बिना सटीकता और शुद्ध तर्क के माध्यम से बनाता है। इससे आपको ज्यामिति की गहरी समझ प्राप्त होगी। आइए कुछ मूल निर्माणों पर नज़र डालते हैं।

1. एक रेखा खंड का निर्माण

एक रेखा खंड एक रेखा का वह भाग होता है जो दो विशिष्ट बिंदुओं से सीमित होता है। एक स्थिर लंबाई का रेखा खंड बनाना एक मूल कार्य है। आप इसे इस प्रकार कर सकते हैं:

  1. स्केल का उपयोग करके एक सीधी रेखा खींचें।
  2. रेखा पर एक बिंदु A को चिह्नित करें। यह रेखा खंड का एक छोर होगा।
  3. कंपास की शूंट A पर रखें, और इसे खंड की इच्छित लंबाई तक खोलें।
  4. कंपास को वही चौड़ाई पर खुला रखते हुए, शूंट को A पर रखें और रेखा के आर्क को खींचें।
  5. उस बिंदु को चिह्नित करें जहां आर्क और रेखा मिलते हैं, B। AB वह रेखा खंड है जिसे आपने बनाया।
A B

2. एक रेखा खंड के लंब स्वाभाजक का निर्माण

एक रेखा खंड का लंब स्वाभाजक वह रेखा है जो खंड को दो बराबर भागों में 90 डिग्री के कोण पर विभाजित करती है। इसे इस प्रकार तैयार करना है:

  1. एक रेखा खंड AB के लिए, इसकी एक छोर पर कंपास की शूंट रखें, जैसे A, और इसकी चौड़ाई को इस प्रकार समायोजित करें कि यह रेखा खंड के आधे से अधिक कवर करे।
  2. रेखा के ऊपर और नीचे आर्क खींचें।
  3. कंपास की चौड़ाई बदले बिना, वही प्रक्रिया दूसरे छोर B से दोहराएं।
  4. उन दो बिंदुओं P और Q को चिह्नित करें जहाँ आर्क्स मिलते हैं।
  5. P और Q के माध्यम से एक रेखा खींचें। यह रेखा AB के लंब स्वाभाजक है।
A B P Q

3. कोण का समद्विभाजक का निर्माण

एक कोण का समद्विभाजक वह रेखा होती है जो कोण को दो समान छोटे कोणों में विभाजित करती है। इसे निम्नलिखित चरणों में बनाया जाता है:

  1. कोण ∠XYZ के लिए बिंदु Y पर कंपास की सुई रखें।
  2. कोण के दोनों तरफ एक आर्क खींचें, बिंदु XY पर मिलन बिंदु A और बिंदु YZ पर मिलन बिंदु B बनाएं।
  3. अब, A पर कंपास की सुई रखें और कोण के भीतर एक आर्क खींचें।
  4. कंपास की चौड़ाई बिना बदले, B पर वही आर्क दोहराएं।
  5. दोनों आर्क्स के मिलन बिंदु C को चिन्हित करें।
  6. Y से C तक एक रेखा खींचें। यह रेखा ∠XYZ का समद्विभाजक है।
X Z Y A B C

4. बिंदु से रेखा तक लंब का निर्माण

किसी बिंदु से रेखा तक लंब खींचने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

  1. रेखा l को और बिंदु P मान लें।
  2. कंपास की सुई को P पर रखें और एक आर्क खींचें जो रेखा को दो बिंदुओं A और B पर काटता है।
  3. कंपास को सबसे चौड़ा स्थिति में रखकर ऊपर और नीचे के लिए आर्क खींचें, A और B से शुरू करें।
  4. इन आर्क्स के मिलन बिंदुओं पर C और D को चिन्हित करें।
  5. P और CD के माध्यम से एक रेखा खींचें। यह रेखा l पर बिंदु P से लंब है।
P A B C D

5. एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण

समबाहु त्रिभुज के सभी पक्ष समान लंबाई के होते हैं। यह सरल निर्माण निम्नलिखित है:

  1. एक रेखा खंड AB खींचें जो त्रिभुज का एक पक्ष होगा।
  2. कंपास की चौड़ाई को AB के बराबर रखते हुए, सुई को A पर रखें और एक आर्क खींचें।
  3. चौड़ाई बदले बिना, सुई को B पर रखें और पहली आर्क के मिलान का दूसरा आर्क खींचें।
  4. मिलन बिंदु C को लेबल करें।
  5. त्रिभुज ABC को तैयार करने के लिए रेखाएं AC और BC खींचें।
A B C

ये तो सिर्फ मौलिक निर्माण हैं, लेकिन उन्हें सीखने से आप जटिल ज्यामितीय चित्र बना सकेंगे और ज्यामिति के गुणों को बेहतर तरीके से समझ सकेंगे। इन निर्माणों का अभ्यास करें और इन गणितीय कार्यों को पूरा करने में प्रवाह की सटीकता और संतोष का अनुभव करें। निर्माणों के माध्यम से सिखाई गई ज्यामिति गणितीय सिद्धांतों की एक गहरी और अधिक अंतर्ज्ञानी समझ प्रदान करती है।

इन मौलिक विधियों को समझना आपके आकारों को देखने और ज्यामिति को समझने की क्षमता में सुधार करेगा। अभ्यास में, कंपास सटीक निर्माण के लिए एक मूल्यवान उपकरण है; गणित में निर्माण की कला को बेहतर ढंग से समझने के लिए इसे अच्छी तरह से उपयोग करना सीखना महत्वपूर्ण है। निर्माण के माध्यम से सीखना न केवल गणित में लागू होता है, बल्कि समस्या-समाधान के अनुशासित तरीके को विकसित करता है।

सारांश

मौलिक ज्यामितीय निर्माण हमें मापने की आवश्यकता के बिना ज्यामितीय आकार बनाने की अनुमति देती है। हमने कई निर्माणों का पता लगाया है:

  • एक रेखा खंड का निर्माण
  • लंब स्वाभाजक
  • कोण का समद्विभाजक
  • बिंदु से रेखा तक लंब
  • समबाहु त्रिभुज

इन निर्माणों में महारत हासिल करना ज्यामितीय गुणों और संबंधों को समझने की नींव रखता है, केवल मापने वाले उपकरणों पर निर्भर नहीं। ये मूल बातें अधिक उन्नत ज्यामितीय संकल्पनाओं की गहरी समझ प्रदान करती हैं।

इन कौशलों का अभ्यास करना धैर्य और सटीकता की आवश्यकता होती है, यह आपके गणितीय अवधारणाओं की समझ को बढ़ाता है और आपकी तार्किक सोचने की क्षमताओं का विकास करता है। याद रखें, ज्यामितीय निर्माणों में सफलता की कुंजी अभ्यास, सटीकता और धैर्य है।


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