9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

9º ano ↓


Compreendendo Círculos


Nesta lição, vamos nos aprofundar no mundo dos círculos. Os círculos são uma das formas mais fascinantes e onipresentes na matemática e no mundo ao nosso redor. Compreender os círculos nos ajuda a entender coisas como rodas, moedas e até mesmo o conceito de ciclos. Vamos começar nossa exploração.

O que é um círculo?

Um círculo é um conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto. Este ponto central é chamado de centro do círculo. A distância do centro a qualquer ponto do círculo é chamada de raio. A palavra "raio" vem da palavra latina que significa "raio" porque irradia do ponto central.

raio

No diagrama acima, temos um círculo simples. A linha vermelha representa o raio, que é a distância do centro (ponto) ao ponto no círculo.

Termos básicos e partes de um círculo

Centro

O ponto médio de um círculo. Todo ponto de um círculo está à mesma distância do centro.

Raio

A linha reta do centro para qualquer ponto no círculo. É constante para qualquer círculo dado.

Diâmetro

O diâmetro é uma linha reta que passa de um lado a outro de um círculo através do centro. O diâmetro é o dobro do comprimento do raio.

diâmetro = 2 × raio
Diâmetro

A linha azul no diagrama representa o diâmetro. Você pode ver que ele passa pelo centro, onde os dois raios se encontram para formar o diâmetro.

Circunferência

A circunferência é a distância total ao redor do círculo. É como o perímetro nos polígonos.

Circunferência = 2 × π × raio

Esta fórmula envolve a constante matemática π (pi), que é aproximadamente 3.14159.

Algumas propriedades dos círculos

  • Em um círculo todos os raios são iguais.
  • Em um círculo todos os diâmetros são iguais.
  • O diâmetro é a corda mais longa de um círculo. Uma corda é qualquer segmento de linha cujas extremidades estão no círculo.

Corda e arco

Corda

Uma corda é um segmento de linha cujas extremidades estão no círculo. Um diâmetro é um tipo especial de corda que passa pelo centro de um círculo.

Corda

Arco

Um arco é uma parte da circunferência. Pode ser qualquer parte da borda do círculo.

Definimos o arco da seguinte forma:

  • Um arco menor é menor que um semicírculo.
  • Um arco maior é maior que um semicírculo.

Linha tangente

Uma tangente é uma linha que toca um círculo em exatamente um ponto. Este ponto é conhecido como ponto de tangência. A tangente é sempre perpendicular ao raio no ponto de contato.

linha tangente raio

Setores e secções

Setor

O setor de um círculo é como um "pedaço de torta". É a área delimitada por dois raios e o arco entre eles.

Setor

Seção

Um segmento é a área dentro de um círculo que é delimitada por uma corda e o arco (ou interceptação) que ela cria. É como a área menor que você obteria se "cortasse" um pedaço do círculo usando uma corda.

Seção

Equação de um círculo

A equação geral de um círculo no plano cartesiano com raio r e centro (h, k) é:

(x – h)² + (y – k)² = r²

Se o centro está na origem (0, 0), a equação simplifica para:

x² + y² = r²

Vamos resolver um problema de equação simples para melhor compreensão: Suponha que um círculo tenha centro (3, 4) e raio 5. Escreva a equação para este círculo.

Solução: Usando a fórmula (x - h)² + (y - k)² = r², substituímos h = 3, k = 4 e r = 5:

(x - 3)² + (y - 4)² = 25

Área e perímetro com círculos

Área de um círculo

A área de um círculo é o espaço dentro de sua circunferência. Pode ser calculada usando a fórmula:

Área = π × raio²

Suponha que o raio do círculo seja 7 cm. A área será:

Área = π × 7² = π × 49 ≈ 153.94 cm²

Conversão entre diâmetro e raio

Como sabemos das definições:

diâmetro = 2 × raio

Por outro lado,

Raio = diâmetro / 2

Resolvendo problemas envolvendo círculos

Vamos considerar alguns cenários de resolução de problemas usando nosso conhecimento sobre círculos:

Exemplo 1

O raio de uma roda de bicicleta é 14 polegadas. Encontre sua circunferência.

Solução:

Perímetro = 2 × π × 14 = 28π ≈ 87.96 polegadas

Exemplo 2

O diâmetro de um parque circular é 200 m. Encontre a área do parque.

Solução:

Primeiro, converta o diâmetro em raio:

Raio = diâmetro / 2 = 200 / 2 = 100 metros

Em seguida, calcule a área:

Área = π × 100² = 10000π ≈ 31415.93 metros quadrados

Círculos na vida real

Os círculos não são apenas conceitos matemáticos; eles estão em toda parte na vida real. Por exemplo, são usados no design de rodas, relógios, moedas, pratos e até edifícios. Reconhecer as propriedades dos círculos é útil tanto nos aspectos estéticos quanto funcionais do design.

Exercício: Observe seu ambiente

Na próxima vez que você sair, tente identificar objetos circulares ao seu redor usando suas propriedades. Considere o raio, o diâmetro, a circunferência e a área de um círculo para obter uma compreensão mais profunda de sua utilidade e beleza.

Este guia abrangente lhe dará uma forte base na compreensão dos círculos, suas propriedades e aplicações. Ao construir a partir desses conceitos básicos, você pode modelar e resolver muitos problemas geométricos que envolvem círculos.


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Compreendendo Círculos

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