वृत्त का समझना

इस पाठ में, हम वृत्त की दुनिया में गहराई से गोता लगाएंगे। वृत्त गणित और हमारे चारों ओर की दुनिया के सबसे आकर्षक और सर्वव्यापी आकारों में से एक हैं। वृत्त को समझने से हमें पहियों, सिक्कों और यहां तक कि चक्रों की अवधारणा को समझने में मदद मिलती है। आइए हमारी खोज शुरू करें।

वृत्त क्या है?

एक वृत्त बिंदुओं का एक समूह है जो एक बिंदु से समान दूरी पर होते हैं। इस केंद्रीय बिंदु को वृत्त का केंद्र कहा जाता है। केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। "त्रिज्या" शब्द लैटिन शब्द से आता है जिसका अर्थ "किरण" है क्योंकि यह केंद्रीय बिंदु से विकीर्ण होता है।

उपरोक्त चित्र में, हमारे पास एक साधारण वृत्त है। लाल रेखा त्रिज्या को दर्शाती है, जो केंद्र (बिंदु) से वृत्त पर स्थित बिंदु तक की दूरी है।

वृत्त की बुनियादी शब्दावली और भाग

केंद्र

वृत्त का मध्य बिंदु। वृत्त पर हर बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होता है।

त्रिज्या

केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु तक की सीधी रेखा। यह किसी भी दी गई वृत्त के लिए स्थिर होती है।

व्यास

व्यास एक सीधी रेखा है जो केंद्र के माध्यम से वृत्त के एक सिरे से दूसरे सिरे तक जाती है। व्यास त्रिज्या की दो गुना होती है।

व्यास = 2 × त्रिज्या

आरेख में नीली रेखा व्यास को दर्शाती है। आप देख सकते हैं कि यह केंद्र से होकर गुजरती है, जहां दो त्रिज्या मिलकर व्यास का निर्माण करते हैं।

परिमाप

वृत्त के चारों ओर की कुल दूरी परिमाप होती है। यह बहुभुजों में परिधि के समान है।

परिमाप = 2 × π × त्रिज्या

यह सूत्र गणितीय स्थिरांक π (पाई) को शामिल करता है, जो लगभग 3.14159 होता है।

वृत्त की कुछ विशेषताएं

• वृत्त में सभी त्रिज्या समान होती हैं।
• वृत्त में सभी व्यास समान होते हैं।
• व्यास वृत्त का सबसे लंबा जीवा होता है। एक जीवा वह रेखा खंड होता है जिसके दोनों छोर वृत्त पर होते हैं।

जीवा और चाप

जीवा

जीवा एक रेखा खंड होता है जिसके दोनों छोर वृत्त पर होते हैं। व्यास एक विशेष प्रकार की जीवा होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।

चाप

चाप परिधि का एक भाग होता है। यह वृत्त के किनारे का कोई भी हिस्सा हो सकता है।

हम चाप को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

• एक लघु चाप अर्धवृत्त से छोटा होता है।
• एक दीर्घ चाप अर्धवृत्त से बड़ा होता है।

स्पर्श रेखा

स्पर्श रेखा एक रेखा होती है जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है। इस बिंदु को स्पर्श बिंदु कहा जाता है। स्पर्श रेखा हमेशा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या के लम्बवत होती है।

क्षितिज और खंड

क्षेत्र

वृत्त का सेक्टर "पीस ऑफ पाई" के समान होता है। यह दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप द्वारा सीमाबद्ध क्षेत्र होता है।

खंड

खंड वृत्त के अंदर का वह क्षेत्र होता है जो एक जीवा और इसके द्वारा निर्मित चाप (या अवरोध) द्वारा सीमाबद्ध होता है। यह उस छोटे क्षेत्र के जैसा होता है जो आपको जीवा का उपयोग करके वृत्त का "काटकर" मिलेगा।

वृत्त का समीकरण

कार्तीय तल पर केंद्र (h, k) के साथ त्रिज्या r वाला वृत्त के सामान्य समीकरण होता है:

(x – h)² + (y – k)² = r²

यदि केंद्र अनुप्रस्थ (0, 0) पर होता है, तो समीकरण सरल हो जाता है:

x² + y² = r²

एक सरल समीकरण समस्या को बेहतर समझने के लिए हल करें: मान लें कि एक वृत्त का केंद्र (3, 4) और त्रिज्या 5 है। इस वृत्त का समीकरण लिखें।

समाधान: सूत्र (x - h)² + (y - k)² = r² का उपयोग करके, हम h = 3, k = 4, और r = 5 को प्रतिस्थापित करते हैं:

(x - 3)² + (y - 4)² = 25

वृत्त के साथ क्षेत्रफल और परिधि

वृत्त का क्षेत्रफल

वृत्त का क्षेत्रफल उसकी परिधि के भीतर का स्थान होता है। इसे सूत्र का उपयोग करके गणना किया जा सकता है:

क्षेत्रफल = π × त्रिज्या²

मान लें कि वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। क्षेत्रफल होगा:

क्षेत्रफल = π × 7² = π × 49 ≈ 153.94 सेमी²

व्यास और त्रिज्या के बीच रूपांतरण

जैसा कि हम परिभाषाओं से जानते हैं:

व्यास = 2 × त्रिज्या

इसके विपरीत,

त्रिज्या = व्यास / 2

वृत्तों से संबंधित समस्याओं को हल करना

आइए वृत्तों के बारे में हमारे ज्ञान का उपयोग करके कुछ समस्या-समाधान परिदृश्यों पर विचार करें:

उदाहरण 1

साइकिल के पहिये की त्रिज्या 14 इंच है। इसका परिधि ज्ञात करें।

समाधान:

परिमाप = 2 × π × 14 = 28π ≈ 87.96 इंच

उदाहरण 2

एक वृत्ताकार पार्क का व्यास 200 मीटर है। पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

समाधान:

पहले, व्यास को त्रिज्या में परिवर्तित करें:

त्रिज्या = व्यास / 2 = 200 / 2 = 100 मीटर

फिर क्षेत्रफल की गणना करें:

क्षेत्रफल = π × 100² = 10000π ≈ 31415.93 वर्ग मीटर

वास्तविक जीवन में वृत्त

वृत्त केवल गणितीय अवधारणाएं ही नहीं हैं; वे वास्तविक जीवन में हर जगह होते हैं। उदाहरण के लिए, वे पहियों, घड़ियों, सिक्कों, प्लेटों और यहां तक कि इमारतों को डिजाइन करने में उपयोग किए जाते हैं। वृत्त के गुणों को पहचानना डिजाइन के सौंदर्य और कार्यात्मक दोनों पहलुओं में सहायक होता है।

अभ्यास: अपने परिवेश का अवलोकन करें

अगली बार जब आप बाहर जाएं, तो अपने आस-पास के वृत्ताकार वस्तुओं की पहचान उनके गुणों का उपयोग करके करने का प्रयास करें। वृत्त की त्रिज्या, व्यास, परिधि और क्षेत्रफल पर विचार करें ताकि उनकी उपयोगिता और सुंदरता की गहन समझ प्राप्त हो सके।

यह व्यापक मार्गदर्शिका आपको वृत्त, उनके गुणों और अनुप्रयोगों को समझने में एक मजबूत आधार प्रदान करेगी। इन बुनियादी बातों पर निर्माण करके, आप वृत्तों से संबंधित कई ज्यामितीय समस्याओं को मॉडल कर सकते हैं और हल कर सकते हैं।

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