Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Entendiendo los Círculos


En esta lección, nos sumergiremos en el mundo de los círculos. Los círculos son una de las formas más fascinantes y ubicuas en las matemáticas y el mundo que nos rodea. Entender los círculos nos ayuda a comprender cosas como ruedas, monedas, e incluso el concepto de ciclos. Comencemos nuestra exploración.

¿Qué es un círculo?

Un círculo es un conjunto de puntos que están equidistantes de un punto. Este punto central se llama el centro del círculo. La distancia desde el centro a cualquier punto en el círculo se llama el radio. La palabra "radio" proviene de la palabra latina que significa "rayo" porque irradia desde el punto central.

radio

En la figura de arriba, tenemos un círculo simple. La línea roja representa el radio, que es la distancia desde el centro (punto) al punto en el círculo.

Términos básicos y partes de un círculo

Centro

El punto medio de un círculo. Cada punto en un círculo está a la misma distancia del centro.

Radio

La línea recta desde el centro a cualquier punto en el círculo. Es constante para un círculo dado.

Diámetro

El diámetro es una línea recta que pasa de un lado del círculo al otro a través del centro. El diámetro es dos veces la longitud del radio.

diámetro = 2 × radio
Diámetro

La línea azul en el diagrama representa el diámetro. Puedes ver que pasa a través del centro, donde los dos radios se encuentren para formar el diámetro.

Circunferencia

La circunferencia es la distancia total alrededor del círculo. Es como el perímetro en polígonos.

Circunferencia = 2 × π × radio

Esta fórmula involucra la constante matemática π (pi), que es aproximadamente 3.14159.

Algunas propiedades de los círculos

  • En un círculo todos los radios son iguales.
  • En un círculo todos los diámetros son iguales.
  • El diámetro es el acorde más largo de un círculo. Un acorde es cualquier segmento de línea cuyos dos extremos están en el círculo.

Acorde y arco

Acorde

Un acorde es un segmento de línea cuyos dos extremos están en el círculo. Un diámetro es un tipo especial de acorde que pasa por el centro de un círculo.

Acorde

Arco

Un arco es una parte de la circunferencia. Puede ser cualquier parte del borde del círculo.

Definimos el arco de la siguiente manera:

  • Un arco menor es más pequeño que un semicírculo.
  • Un arco mayor es más grande que un semicírculo.

Línea tangente

Una tangente es una línea que toca un círculo en exactamente un punto. Este punto se conoce como el punto de tangencia. La tangente es siempre perpendicular al radio en el punto de contacto.

línea tangente radio

Sector y segmento

Sector

El sector de un círculo es como un "trozo de pastel". Es el área delimitada por dos radios y el arco entre ellos.

Sector

Segmento

Un segmento es el área dentro de un círculo que está delimitada por un acorde y el arco (o intercepto) que crea. Es como el área más pequeña que obtendrías si "recortaras" un trozo del círculo usando un acorde.

Segmento

Ecuación de un círculo

La ecuación general de un círculo en el plano cartesiano con radio r y centro (h, k) es:

(x – h)² + (y – k)² = r²

Si el centro está en el origen (0, 0), la ecuación se simplifica a:

x² + y² = r²

Resolvamos un problema de ecuación simple para una mejor comprensión: Supongamos que un círculo tiene centro (3, 4) y radio 5. Escribe la ecuación para este círculo.

Solución: Usando la fórmula (x - h)² + (y - k)² = r², sustituimos h = 3, k = 4, y r = 5:

(x - 3)² + (y - 4)² = 25

Área y perímetro de círculos

Área de un círculo

El área de un círculo es el espacio dentro de su circunferencia. Se puede calcular usando la fórmula:

Área = π × radio²

Supongamos que el radio del círculo es de 7 cm. El área será:

Área = π × 7² = π × 49 ≈ 153.94 cm²

Conversión entre diámetro y radio

Como sabemos de las definiciones:

diámetro = 2 × radio

Por el contrario,

Radio = diámetro / 2

Resolviendo problemas que involucran círculos

Veamos algunos escenarios de resolución de problemas usando nuestro conocimiento de los círculos:

Ejemplo 1

El radio de una rueda de bicicleta es de 14 pulgadas. Encuentra su circunferencia.

Solución:

Perímetro = 2 × π × 14 = 28π ≈ 87.96 pulgadas

Ejemplo 2

El diámetro de un parque circular es de 200 m. Encuentra el área del parque.

Solución:

Primero, convierte el diámetro a un radio:

Radio = diámetro / 2 = 200 / 2 = 100 metros

Luego calcula el área:

Área = π × 100² = 10000π ≈ 31415.93 metros cuadrados

Círculos en la vida real

Los círculos no son solo conceptos matemáticos; están en todas partes en la vida real. Por ejemplo, se utilizan en el diseño de ruedas, relojes, monedas, platos e incluso edificios. Reconocer las propiedades de los círculos es útil tanto en los aspectos estéticos como funcionales del diseño.

Ejercicio: Observa tu entorno

La próxima vez que salgas, intenta identificar objetos circulares a tu alrededor usando sus propiedades. Considera el radio, el diámetro, la circunferencia y el área de un círculo para obtener una comprensión más profunda de su utilidad y belleza.

Esta guía comprensiva te dará una base sólida en entender los círculos, sus propiedades y aplicaciones. Al construir sobre estos conceptos básicos, podrás modelar y resolver muchos problemas geométricos relacionados con círculos.


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