Понимание дуг и углов, образуемых в кругах

Круги — это одна из самых фундаментальных форм в геометрии. Они встречаются в природе, технологии и искусстве, поэтому их понимание важно как с теоретической, так и с практической точки зрения. В этом руководстве мы подробно обсудим одну из ключевых концепций при работе с кругами: дуги и углы, которые они образуют.

Что такое круг?

Круг определяется как множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой центром. Это расстояние от центра до любой точки на окружности называется радиусом.

Основы круга

• Радиус - Расстояние от центра круга до любой точки на окружности.
• Диаметр - Самое длинное расстояние от одного конца окружности до другого. Это вдвое больше длины радиуса.
• Окружность - Длина вокруг круга.
• Дуга - Часть окружности круга.
• Сектор - Область внутри круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними.
• Центральный угол - Угол, вершина которого находится в центре круга, а стороны являются радиусами.

Понимание дуги

Когда вы рисуете кривую между двумя точками на окружности, эта кривая называется дугой. Дуги представлены длиной в терминах их конечных точек и угла, образуемого в центре.

Красная кривая на рисунке выше является дугой круга. Есть два типа дуг:

• Малая дуга - Дуга, которая меньше полукруга.
• Большая дуга - Дуга, которая больше полукруга.

Угол, образуемый дугой в центре

Угол, образуемый дугой в центре круга, называется центральным углом. Он формируется двумя радиусами, проведенными из центра к концам дуги.

Дуга AB образует центральный угол ∠AOB.
Где O — центр круга.

На этой диаграмме дуга от точки A до точки B образует центральный угол ∠AOB. Помните, что центральные углы всегда измеряются в градусах.

Угол, образуемый дугой на окружности

Углы, образуемые одной и той же дугой в разных точках на окружности, называются углами в том же сегменте. Эти углы равны друг другу.

Обратите внимание, что ∠ACB и ∠ADB образованы одной и той же дугой AB и равны.

Важные теоремы

Теорема о центре угла

Центральный угол всегда вдвое больше любого угла, образуемого той же дугой на окружности. Таким образом, если θ — угол, образуемый на окружности, тогда центральный угол равен 2θ.

∠AOB = 2 * ∠ACB

Примеры задач

Пример 1:

Рассмотрим круг с центром O. Пусть точки A и B лежат на круге таким образом, что дуга AB образует центральный угол ∠AOB = 80° в центре O. Найдите угол, образуемый той же дугой в точке C на окружности.

Угол, образуемый дугой в любой точке на окружности, равен половине угла, образуемого в центре.

∠ACB = ∠AOB / 2 = 80° / 2 = 40°

Пример 2:

В данном круге дуга XY образует угол 100° в центре O. Найдите угол, образуемый дугой XY в любой точке Z на противоположном сегменте круга.

∠XZY = ∠XOY / 2 = 100° / 2 = 50°

Практическая задача 1:

Если угол, образуемый дугой в центре круга, равен 120°, то каков будет угол, образуемый той же дугой в любой точке на окружности?

Решение:
∠A = 120° / 2 = 60°

Практическая задача 2:

Хорда делит круг на две дуги, большую и меньшую. Если дуга образует угол 130° в центре круга, найдите оба угла, образуемые дугой в любой точке на окружности, которая не лежит на диаметре.

Решение:
Угол, образуемый в любой точке для малой дуги = 130° / 2 = 65°
Угол, образуемый в любой точке для большой дуги = 360° - 130° = 230°
230° / 2 = 115°

Заключение

Понимание взаимосвязи между дугами и углами, которые они образуют, является важной частью геометрических исследований. При изучении кругов связь между центральными углами и углами, образуемыми на окружности, служит мостом для связи различных геометрических теорем и свойств. Практикуясь с этими концепциями через данные упражнения и визуализации, помогает укрепить ваше понимание этой важной темы в математике.

комментарии