9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos


Círculos são uma das formas mais fundamentais na geometria. Eles aparecem na natureza, tecnologia e arte, tornando seu entendimento importante tanto do ponto de vista teórico quanto prático. Neste guia, discutiremos em profundidade um dos conceitos-chave ao lidar com círculos: arcos e ângulos subtendidos.

O que é um círculo?

Um círculo é definido como o conjunto de todos os pontos em um plano que estão a mesma distância de um ponto dado, chamado de centro. Esta distância do centro a qualquer ponto no círculo é chamada de o raio.

Fundamentos de um círculo

  • Raio - A distância do centro de um círculo a qualquer ponto no círculo.
  • Diâmetro - A maior distância de um extremo de um círculo ao outro. É o dobro do comprimento do raio.
  • Circunferência - A distância ao redor do círculo.
  • Arco - Uma porção da circunferência de um círculo.
  • Setor - A área dentro de um círculo delimitada por dois raios do círculo e o arco entre eles.
  • Ângulo central - O ângulo cujo vértice está no centro do círculo e cujos lados são raios.

Compreendendo o arco

Quando você desenha uma curva entre dois pontos em um círculo, essa curva é chamada de um arco. Arcos são representados por comprimento em termos de seus pontos finais e o ângulo subtendido no centro.

Arco

A curva vermelha na imagem acima é o arco do círculo. Você tem dois tipos de arcos:

  • Arco menor - Um arco que é menor que um semicírculo.
  • Arco maior - Um arco que é maior que um semicírculo.

Ângulo subtendido pelo arco no centro

O ângulo subtendido por um arco no centro de um círculo é chamado de o ângulo central. É formado desenhando dois raios do centro até os pontos finais do arco.

Arco AB subentende um ângulo central ∠AOB.
Onde O é o centro do círculo.
∠AOB

Neste diagrama, o arco do ponto A ao ponto B forma o ângulo central ∠AOB. Lembre-se, ângulos centrais são sempre medidos em graus.

Ângulo subtendido por um arco em um círculo

Os ângulos formados pelo mesmo arco em diferentes pontos de um círculo são chamados de ângulos no mesmo segmento de linha. Esses ângulos são iguais entre si.

∠ACB ∠ADB

Note que tanto ∠ACB quanto ∠ADB são subtendidos pelo mesmo arco AB e são iguais.

Teoremas importantes

Teorema do ângulo no centro

O ângulo central é sempre o dobro de qualquer ângulo subtendido pelo mesmo arco na circunferência. Assim, se θ é o ângulo subtendido no círculo, então o ângulo central é 2θ.

∠AOB = 2 * ∠ACB

Exemplo de problemas

Exemplo 1:

Considere um círculo com centro O. Deixe os pontos A e B no círculo de modo que o arco AB subtende o ângulo central ∠AOB = 80° no centro O. Encontre o ângulo subtendido pelo mesmo arco no ponto C do círculo.

O ângulo subtendido pelo arco em qualquer ponto do círculo é a metade do ângulo subtendido no centro.

∠ACB = ∠AOB / 2 = 80° / 2 = 40°

Exemplo 2:

Em um círculo dado, o arco XY subtende um ângulo de 100° no centro O. Encontre o ângulo subtendido pelo arco XY em qualquer ponto Z no segmento oposto do círculo.

∠XZY = ∠XOY / 2 = 100° / 2 = 50°

Problema de prática 1:

Se o ângulo subtendido por um arco no centro de um círculo é 120°, então qual será o ângulo subtendido pelo mesmo arco em qualquer ponto do círculo?

Solução:
∠A = 120° / 2 = 60°

Problema de prática 2:

Uma corda divide um círculo em dois arcos, maior e menor. Se um arco subtender um ângulo de 130° no centro do círculo, encontre ambos os ângulos subtendidos pelo arco em qualquer ponto do círculo que não esteja no diâmetro.

Solução:
Ângulo subtendido em qualquer ponto para arco menor = 130° / 2 = 65°
Ângulo subtendido em qualquer ponto para arco maior = 360° - 130° = 230°
230° / 2 = 115°

Conclusão

Compreender a relação entre arcos e os ângulos que eles formam é uma parte importante dos estudos geométricos. Ao examinar círculos, a ligação entre os ângulos centrais e os ângulos formados na circunferência serve como uma ponte para conectar vários teoremas e propriedades geométricas. Praticar esses conceitos através dos exercícios e visualizações dados ajuda a reforçar sua compreensão deste tópico essencial em matemática.


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