वृत्तों में स्थित चाप और कोणों की समझ

वृत्त ज्यामिति के सबसे मौलिक आकारों में से एक हैं। वे प्रकृति, प्रौद्योगिकी और कला में दिखाई देते हैं, जिससे उनका समझना सैद्धांतिक और व्यावहारिक दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण हो जाता है। इस मार्गदर्शिका में, हम विस्तृत रूप से चर्चा करेंगे कि जब हम वृत्तों से निपटते हैं तो मुख्य अवधारणाओं में से एक: चाप और कोण होते हैं।

वृत्त क्या है?

एक वृत्त को एक समतल में उन सभी बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक दिए गए बिंदु से समान दूरी पर होते हैं, जिसे केंद्र कहा जाता है। इस केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या कहते हैं।

वृत्त की मूल बातें

• त्रिज्या - वृत्त के केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु तक की दूरी।
• व्यास - वृत्त के एक छोर से दूसरे छोर तक की सबसे लंबी दूरी। यह त्रिज्या की दो बार की लंबाई होती है।
• परिधि - वृत्त के चारों ओर की दूरी।
• चाप - वृत्त की परिधि का एक भाग।
• खंड - वृत्त के अंदर का वह क्षेत्र जो वृत्त की दो त्रिज्या और उनके बीच स्थित चाप द्वारा सीमाबद्ध होता है।
• केंद्रीय कोण - वह कोण जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र पर होता है और जिसकी भुजाएँ त्रिज्या होती हैं।

चाप की समझ

जब आप वृत्त पर दो बिंदुओं के बीच एक वक्र खींचते हैं, तो इस वक्र को चाप कहा जाता है। चाप को उनके अंत बिंदुओं और केंद्र पर स्थित कोण के संदर्भ में लंबाई द्वारा दर्शाया जाता है।

उपरोक्त चित्र में लाल वक्र वृत्त का चाप है। आपके पास दो प्रकार के चाप होते हैं:

• लघु चाप - एक चाप जो अर्धवृत्त से छोटा होता है।
• महाचाप - एक चाप जो अर्धवृत्त से बड़ा होता है।

केंद्र में चाप द्वारा रेखांकित कोण

वृत्त के केंद्र में एक चाप द्वारा रेखांकित कोण को केंद्रीय कोण कहा जाता है। यह दो त्रिज्याओं को चाप के अंतिम बिंदुओं तक खींचकर बनाया जाता है।

 Arc AB केंद्र कोण ∠AOB को रेखांकित करता है। जहाँ O वृत्त का केंद्र है। 

इस आरेख में, बिंदु A से बिंदु B तक का चाप केंद्र कोण ∠AOB बनाता है। याद रखें, केंद्रीय कोण हमेशा अंशों में मापे जाते हैं।

वृत्त पर एक चाप द्वारा रेखांकित कोण

वृत्त पर विभिन्न बिंदुओं पर समान चाप द्वारा बने कोणों को समान रेखा खंड में कोण कहा जाता है। ये कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

ध्यान दें कि ∠ACB और ∠ADB दोनों समान चाप AB द्वारा रेखांकित हैं और समान हैं।

महत्वपूर्ण प्रमेय

केंद्र पर कोण प्रमेय

केंद्रीय कोण हमेशा परिधि पर समान चाप द्वारा रेखांकित किसी भी कोण का दुगना होता है। इसलिए, यदि θ वृत्त पर रेखांकित कोण है, तो केंद्रीय कोण 2θ होता है।

 ∠AOB = 2 * ∠ACB 

उदाहरण समस्याएँ

उदाहरण 1:

केंद्र O के साथ एक वृत्त पर विचार करें। मान लें कि बिंदु A और B वृत्त पर स्थित हैं, ताकि चाप AB केंद्र O पर केंद्रीय कोण ∠AOB = 80° को रेखांकित करता है। वृत्त पर बिंदु C पर समान चाप द्वारा रेखांकित कोण को खोजें।

केंद्र पर कोण का आधा होता है।

 ∠ACB = ∠AOB / 2 = 80° / 2 = 40° 

उदाहरण 2:

एक दिए गए वृत्त में, चाप XY केंद्र O पर 100° के कोण को रेखांकित करता है। वृत्त के विपरीत खंड में किसी भी बिंदु Z पर चाप XY द्वारा रेखांकित कोण को खोजें।

 ∠XZY = ∠XOY / 2 = 100° / 2 = 50° 

अभ्यास समस्या 1:

यदि चाप द्वारा रेखांकित केंद्रीय कोण 120° है।

 समाधान: ∠A = 120° / 2 = 60° 

अभ्यास समस्या 2:

एक जीवा एक वृत्त को दो चापों, प्रमुख और लघु में विभाजित करती है। यदि कोई चाप वृत्त के केंद्र पर 130° का कोण रेखांकित करता है, तो केंद्र में कोण रेखांकित करें।

 समाधान: लघु चाप द्वारा कोण = 130° / 2 = 65° प्रमुख चाप द्वारा कोण = 360° - 130° = 230° 230° / 2 = 115° 

निष्कर्ष

गोल वस्तुओं के आंकड़े में क्रम और विषमता से संबंधित समांतर त्रिज्याओं के भूपरिस्थितिकीय सम्यता से संबंधित कोणों की संकल्पना को समझना महत्वपूर्ण है। इस अवधारणा को समझने का अभ्यास करें।

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