Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos


Los círculos son una de las formas más fundamentales en geometría. Aparecen en la naturaleza, la tecnología y el arte, haciendo su comprensión importante tanto desde una perspectiva teórica como práctica. En esta guía, discutiremos en profundidad uno de los conceptos clave al tratar con círculos: arcos y ángulos subtendidos.

¿Qué es un círculo?

Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto dado, llamado el centro. Esta distancia desde el centro a cualquier punto en el círculo se llama el radio.

Fundamentos de un círculo

  • Radio - La distancia desde el centro de un círculo a cualquier punto en el círculo.
  • Diámetro - La distancia más larga de un extremo de un círculo al otro. Es el doble del radio.
  • Circunferencia - La distancia alrededor del círculo.
  • Arco - Una porción de la circunferencia de un círculo.
  • Sector - El área dentro de un círculo delimitada por dos radios del círculo y el arco entre ellos.
  • Ángulo central - El ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyas caras son radios.

Comprendiendo el arco

Cuando dibujas una curva entre dos puntos en un círculo, esta curva se llama un arco. Los arcos son representados por la longitud en términos de sus puntos finales y el ángulo subtendido en el centro.

Arco

La curva roja en la imagen de arriba es el arco del círculo. Tienes dos tipos de arcos:

  • Arco menor - Un arco que es menor que un semicírculo.
  • Arco mayor - Un arco que es mayor que un semicírculo.

Ángulo subtendido por el arco en el centro

El ángulo subtendido por un arco en el centro de un círculo se llama el ángulo central. Se forma al dibujar dos radios desde el centro a los extremos del arco.

El arco AB subtiende un ángulo central ∠AOB.
Donde O es el centro del círculo.
∠AOB

En este diagrama, el arco desde el punto A al punto B forma el ángulo central ∠AOB. Recuerda, los ángulos centrales siempre se miden en grados.

Ángulo subtendido por un arco en un círculo

Los ángulos formados por el mismo arco en diferentes puntos en un círculo se llaman ángulos en el mismo segmento de línea. Estos ángulos son iguales entre sí.

∠ACB ∠ADB

Nota que tanto ∠ACB como ∠ADB son subtendidos por el mismo arco AB y son iguales.

Teoremas importantes

Teorema del ángulo en el centro

El ángulo central es siempre el doble de cualquier ángulo subtendido por el mismo arco en la circunferencia. Así, si θ es el ángulo subtendido en el círculo, entonces el ángulo central es 2θ.

∠AOB = 2 * ∠ACB

Problemas de ejemplo

Ejemplo 1:

Considera un círculo con centro O. Sean los puntos A y B en el círculo de modo que el arco AB subtende el ángulo central ∠AOB = 80° en el centro O. Encuentra el ángulo subtendido por el mismo arco en el punto C en el círculo.

El ángulo subtendido por el arco en cualquier punto del círculo es la mitad del ángulo subtendido en el centro.

∠ACB = ∠AOB / 2 = 80° / 2 = 40°

Ejemplo 2:

En un círculo dado, el arco XY subtende un ángulo de 100° en el centro O. Encuentra el ángulo subtendido por el arco XY en cualquier punto Z en el segmento opuesto del círculo.

∠XZY = ∠XOY / 2 = 100° / 2 = 50°

Problema de práctica 1:

Si el ángulo subtendido por un arco en el centro de un círculo es 120°, ¿cuál será el ángulo subtendido por el mismo arco en cualquier punto del círculo?

Solución:
∠A = 120° / 2 = 60°

Problema de práctica 2:

Un cordón divide un círculo en dos arcos, mayor y menor. Si un arco subtende un ángulo de 130° en el centro del círculo, encuentra los ángulos subtendidos por el arco en cualquier punto del círculo que no se encuentre en el diámetro.

Solución:
Ángulo subtendido en cualquier punto para el arco menor = 130° / 2 = 65°
Ángulo subtendido en cualquier punto para el arco mayor = 360° - 130° = 230°
230° / 2 = 115°

Conclusión

Comprender la relación entre arcos y los ángulos que forman es una parte importante de los estudios geométricos. Al examinar círculos, el vínculo entre ángulos centrales y los ángulos formados en la circunferencia sirve como un puente para conectar varios teoremas y propiedades geométricas. Practicar estos conceptos a través de los ejercicios y visualizaciones dados ayuda a fortalecer tu comprensión de este tema esencial en matemáticas.


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