9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Quadrilátero cíclico


Um quadrilátero cíclico é um tipo especial de quadrilátero cujos todos os vértices estão na circunferência de um círculo. Este círculo é chamado circuncírculo do quadrilátero, e o quadrilátero está inscrito no círculo. Quadriláteros cíclicos são um conceito importante em geometria para entender a relação entre círculos e quadriláteros.

Compreendendo quadriláteros cíclicos

Todo quadrilátero cíclico possui certas propriedades únicas. Antes de considerar essas propriedades em detalhes, vamos considerar a estrutura básica de um quadrilátero cíclico.

  Um quadrilátero é um polígono de quatro lados com quatro vértices e quatro ângulos. Vamos considerar tal quadrilátero ABCD, onde os pontos A, B, C e D estão em um círculo.

O conceito de um quadrilátero cíclico nos permite explorar propriedades relacionadas aos ângulos e lados de um quadrilátero, bem como seu circuncírculo.

Propriedades dos quadriláteros cíclicos

Algumas propriedades notáveis fazem quadriláteros cíclicos distintos de outros quadriláteros:

  1. Ângulos opostos são suplementares: Uma das propriedades básicas dos quadriláteros cíclicos é que ângulos opostos são suplementares. Isso significa: 
        ∠A + ∠C = 180°
    ∠B + ∠D = 180°
    Esta propriedade pode ser facilmente derivada usando o teorema do ângulo invertido de um círculo.
  2. Teorema de Ptolomeu: Para um quadrilátero cíclico, o teorema de Ptolomeu afirma que o produto de suas diagonais é igual à soma dos produtos dos pares de seus dois lados opostos: 
        AC * BD = AB * CD + AD * BC
  3. Propriedade da Bissetriz de Ângulo: Em um quadrilátero cíclico, os ângulos formados pelas bissetrizes de ângulos opostos são iguais.

Representação visual

Vamos desenhar um quadrilátero cíclico no sistema de coordenadas para entender melhor sua estrutura e propriedades:

A B C D

No figura acima, o quadrilátero cíclico ABCD está inscrito em um círculo com centro O. Os vértices A, B, C e D estão na circunferência do círculo.

Exemplos e exercícios

Vamos considerar alguns exemplos e exercícios para entender as aplicações das propriedades dos quadriláteros cíclicos:

Exemplo 1:

Considere um quadrilátero cíclico ABCD onde ∠A = 70° e ∠B = 80°. Encontre as medidas de ∠C e ∠D.

Usando a propriedade de que ângulos opostos são suplementares em um quadrilátero cíclico:

∠A + ∠C = 180°
∠C = 180° - ∠A
∠C = 180° - 70° = 110°

Da mesma forma,
∠B + ∠D = 180°
∠D = 180° - ∠B
∠D = 180° - 80° = 100°

Portanto, ∠C = 110° e ∠D = 100°.

Exemplo 2:

Em um quadrilátero cíclico EFGH, se EF = 3 cm, FG = 4 cm, GH = 5 cm, e HE = 6 cm, e uma diagonal EG = 7 cm, então encontre a outra diagonal FH usando o teorema de Ptolomeu.

De acordo com o teorema de Ptolomeu para um quadrilátero cíclico:

EG * FH = EF * GH + FG * HE

Insira valores conhecidos:
7 * FH = 3*5 + 4*6

7 * FH = 15 + 24
7 * FH = 39
FH = 39 / 7 = 5.57 cm

Aplicações de quadriláteros cíclicos

O estudo de quadriláteros cíclicos tem várias aplicações em problemas e provas de geometria. Eles ajudam a resolver diversos problemas envolvendo ângulos e distâncias ao redor de círculos. As propriedades dos quadriláteros cíclicos também são usadas nos campos da trigonometria e podem ser aplicadas no cálculo de incógnitas em problemas baseados em geometria.

Além disso, quadriláteros cíclicos aparecem no estudo de geometria avançada, como no design de polígonos cíclicos e investigações sobre exocírculos e incentros de triângulos. Suas propriedades fornecem ferramentas úteis para resolver problemas complexos que envolvem formas circulares.

Conclusão

O estudo de quadriláteros cíclicos aprimora a compreensão fundamental das propriedades geométricas e relações na geometria circular. Ao entender que todos os vértices de tal figura de quatro lados estão em um círculo, os estudantes podem usar as propriedades únicas dos quadriláteros cíclicos para resolver uma variedade de problemas matemáticos. Uma compreensão sólida de quadriláteros cíclicos enriquece a compreensão dos estudantes sobre geometria básica e avançada.


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