Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Cuadrilátero cíclico


Un cuadrilátero cíclico es un tipo especial de cuadrilátero cuyos todos los vértices se sitúan en la circunferencia de un círculo. Este círculo se llama el circuncírculo del cuadrilátero, y el cuadrilátero está inscrito en el círculo. Los cuadriláteros cíclicos son un concepto importante en geometría para entender la relación entre círculos y cuadriláteros.

Entendiendo los cuadriláteros cíclicos

Todo cuadrilátero cíclico tiene ciertas propiedades únicas. Antes de considerar estas propiedades en detalle, consideremos la estructura básica de un cuadrilátero cíclico.

  Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados con cuatro vértices y cuatro ángulos. Consideremos un cuadrilátero ABCD, donde los puntos A, B, C y D son puntos que se sitúan en un círculo.

El concepto de un cuadrilátero cíclico nos permite explorar propiedades relacionadas con los ángulos y los lados de un cuadrilátero, así como su circuncírculo.

Propiedades de los cuadriláteros cíclicos

Algunas propiedades notables hacen a los cuadriláteros cíclicos distintos de otros cuadriláteros:

  1. Ángulos opuestos son suplementarios: Una de las propiedades básicas de los cuadriláteros cíclicos es que los ángulos opuestos son suplementarios. Esto significa: 
        ∠A + ∠C = 180°
    ∠B + ∠D = 180°
    Esta propiedad se puede derivar fácilmente usando el teorema del ángulo invertido de un círculo.
  2. Teorema de Ptolomeo: Para un cuadrilátero cíclico, el teorema de Ptolomeo establece que el producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de los pares de sus dos lados opuestos: 
        AC * BD = AB * CD + AD * BC
  3. Propiedad del bisector de los ángulos: En un cuadrilátero cíclico, los ángulos formados por los bisectores de los ángulos opuestos son iguales.

Representación visual

Vamos a dibujar un cuadrilátero cíclico en el sistema de coordenadas para entender mejor su estructura y propiedades:

A B C D

En la figura anterior, el cuadrilátero cíclico ABCD está inscrito en un círculo con centro en O. Los vértices A, B, C y D se sitúan en la circunferencia del círculo.

Ejemplos y ejercicios

Consideremos algunos ejemplos y ejercicios para entender las aplicaciones de las propiedades de los cuadriláteros cíclicos:

Ejemplo 1:

Considera un cuadrilátero cíclico ABCD donde ∠A = 70° y ∠B = 80°. Encuentra las medidas de ∠C y ∠D.

Usando la propiedad de que los ángulos opuestos son suplementarios en un cuadrilátero cíclico:

∠A + ∠C = 180°
∠C = 180° - ∠A
∠C = 180° - 70° = 110°

De manera similar,
∠B + ∠D = 180°
∠D = 180° - ∠B
∠D = 180° - 80° = 100°

Por lo tanto, ∠C = 110° y ∠D = 100°.

Ejemplo 2:

En un cuadrilátero cíclico EFGH, si EF = 3 cm, FG = 4 cm, GH = 5 cm, y HE = 6 cm, y una diagonal EG = 7 cm, entonces encuentra la otra diagonal FH usando el teorema de Ptolomeo.

De acuerdo con el teorema de Ptolomeo para un cuadrilátero cíclico:

EG * FH = EF * GH + FG * HE

Introduce los valores conocidos:
7 * FH = 3*5 + 4*6

7 * FH = 15 + 24
7 * FH = 39
FH = 39 / 7 = 5.57 cm

Aplicaciones de los cuadriláteros cíclicos

El estudio de los cuadriláteros cíclicos tiene varias aplicaciones en problemas y demostraciones de geometría. Ayudan a resolver varios problemas que involucran ángulos y distancias alrededor de círculos. Las propiedades de los cuadriláteros cíclicos también se utilizan en los campos de la trigonometría y se pueden aplicar en el cálculo de incógnitas en problemas basados en geometría.

Además, los cuadriláteros cíclicos aparecen en el estudio de la geometría avanzada, como el diseño de polígonos cíclicos e investigaciones sobre los circunradios y los incentros de triángulos. Sus propiedades proporcionan herramientas útiles para resolver problemas complejos que involucran formas circulares.

Conclusión

El estudio de los cuadriláteros cíclicos mejora la comprensión fundamental de las propiedades y relaciones geométricas en la geometría circular. Al entender que todos los vértices de una figura de cuatro lados se encuentran en un círculo, los estudiantes pueden utilizar las propiedades únicas de los cuadriláteros cíclicos para resolver una variedad de problemas matemáticos. Una comprensión sólida de los cuadriláteros cíclicos enriquece la comprensión de los estudiantes tanto de la geometría básica como de la avanzada.


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