円の接線

円の紹介

円は、すべての点が固定された中心点から同じ距離にある単純な閉じた図形です。この中心点を「中心」と呼び、固定された距離を「半径」と呼びます。例えば、中心がOで半径がrの円があるとすると、円の上のすべての点はOからの距離がrです。

コンパスを使って、中心を回転させながら半径を一定に保つことで円を描くことができます。幾何学では、弦、セカント、接線など、円に関連する概念を扱うことがよくあります。このレッスンでは、円の接線の概念をより深く掘り下げていきます。

接線とは何ですか？

円の接線は、円に正確に1点で接する直線です。この接点を「接点」と呼びます。この正確な点で、接線は円の中心から描かれた半径に垂直です。

数学的な言葉で言えば、中心がOで接点Pに接する接線Lがあるとすると、線Lは接線でありOPは接点での円の半径です。

円の外の点からの接線

点が円の外にある場合、そこから円に引かれる接線が2本存在する可能性があります。これらの接線は長さが等しいです。この概念をいくつかの例やデモンストレーションを通じて深く理解しましょう。

視覚的例1: 円の外の点からの接線

上の図では、円の中心は点Oです。線OPと線OQは半径です。線PRとQRは、円の外の点Rからの円の接線であり、長さは等しいです。したがって、PR = QRです。

接線の性質

• 円の接線は接点で半径に垂直です。
• 外部の点から引かれた2本の接線は長さが等しいです。

視覚的例2: 垂直な半径

この図では、OPは半径であり、線Lは点Pでの円の接線です。半径OPは線Lに垂直であることに注意してください。したがって、∠OPL = 90°です。

円の外部点からの接線

円の外の点からの接線の長さを理解し、見つけるために、より体系的なアプローチを考えましょう。座標幾何を使ってこれを示します：

例1: 接線長の計算

中心がC(0,0)で半径がrの円があるとします。この円の外に点P(x ₁, y ₁)があるとします。目標は、Pから円への接線の長さを求めることです。

円の方程式は以下の通りです：

<code>(x - 0) 2 + (y - 0) 2 = r 2</code>

点から円への接線の長さは、次の式を使用して見つけられます：

<code>length = √[(x 1 - 0) 2 + (y 1 - 0) 2 - r 2] = √[x 1 2 + y 1 2 - r 2]</code>

接線に関連する定理

定理1: 接線-セカント定理

円の外部点から接線とセカントが描かれると、その長さは特定の数学的関係を形成します。これを定式化するには、外部点Tから接線TPとセカントTQが描かれ、Pが接点でQが円上にあると仮定します。

この場合、定理は次のように主張します：

<code>TP2 = TQ × TR</code>

視覚的例3: 接線跳躍定理

ここで、TPは接線で、Pは接点であり、TQは円を通過するセカント線です。定理はTP 2 = TQ × TRと述べています。

接線の現実生活への応用

接線は理論的な概念だけでなく、現実生活での応用も見つけられます。鉄道には、安定かつスムーズな移動ができるように接線のトラックを持つ曲線のパスがあります。道路に触れる車輪の設計も、工学と設計において接線を理解することを含むもう1つの例です。

さらに、接線は、ナビゲーションや地図に取り組む際に方向や境界を構築する円において重要な役割を果たします。接線の働きを理解することは、エンジニア、建築家、デザイナーにとって、より慎重で安全なシステム、デザイン、経路を作成するのに役立ちます。

まとめ

円の接線は、円を含むより複雑な構造を理解するのに役立つ基本的な幾何学的概念です。接線に関連する性質と定理は、幾何学的な構造とさまざまな分野での応用についての洞察を提供します。このトピックをマスターすることは、幾何学のツールボックスを強化するだけでなく、より高度な数学のために必要な基本的な理解を準備します。

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