9º ano → Compreendendo Círculos ↓
Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos
Uma corda é uma linha reta que une dois pontos na circunferência de um círculo. Entre as várias propriedades e conceitos relacionados aos círculos, as cordas desempenham um papel importante, especialmente na geometria. Compreender as propriedades das cordas nos dá a capacidade de explorar uma ampla gama de conceitos geométricos e resolver problemas complexos envolvendo círculos. Vamos nos aprofundar nas propriedades das cordas e entendê-las em detalhe.
Propriedades básicas das cordas
Antes de explorarmos mais a fundo as propriedades das cordas, vamos considerar uma compreensão básica do que é um círculo. Um círculo é uma figura fechada onde todos os pontos têm a mesma distância de um ponto central. Esta distância constante do centro à circunferência é chamada de raio.
Agora, considere uma corda em um círculo. O segmento de linha que forma a corda divide o círculo em duas regiões distintas, que podem ser segmentos ou arcos. Algumas propriedades básicas de uma corda são:
- A corda mais longa de um círculo é seu diâmetro.
- Se as cordas têm o mesmo comprimento, então estão equidistantes do centro do círculo.
Cordas iguais e distância ao centro
Uma propriedade importante das cordas é o conceito de equidistância ao centro. Em outras palavras, se duas cordas têm comprimento igual, então estão equidistantes do centro. Inversamente, se duas cordas estão equidistantes do centro, elas devem ser iguais em comprimento.
Por exemplo, considere um círculo com centro (O). Se as cordas (AB) e (CD) são iguais, então estão equidistantes de (O). Vamos representar isso visualmente no exemplo a seguir:
Hey
A
B
C
D
Perpendicular do centro até a corda
Se você desenhar uma linha perpendicular do centro de um círculo até uma corda, essa perpendicular bissecta a corda. Esta é outra propriedade importante das cordas nos círculos.
Esta propriedade implica que se (OM) é a perpendicular do centro (O) até a corda (AB), então (M) é o ponto médio de (AB). Vamos ver isso com um auxílio visual:
Hey
A
B
M
Desenvolvimento da corda e arco
Existe uma relação interessante entre uma corda e os arcos que ela forma em um círculo. Duas teorias principais tratam dessa relação:
- Se duas cordas de um círculo são iguais, então os arcos por elas subtendidos também serão iguais.
- Inversamente, se dois arcos são iguais, então as cordas que os intersectam também são iguais.
Por exemplo, se ( overset{frown}{AB} ) e ( overset{frown}{CD} ) são arcos iguais, então as cordas (AB) e (CD) também são iguais em comprimento. Vamos explicar isso:
B
A
D
C
Ângulos no mesmo segmento
Os ângulos subtendidos pela corda em qualquer ponto no segmento restante do círculo são iguais. Este princípio é conhecido como o teorema dos ângulos em segmentos iguais.
Considere uma corda (AB). Agora, desenhe dois pontos (C) e (D) na circunferência, que estão no mesmo lado da corda. Então, (angle ACB = angle ADB). Vamos visualizar este conceito:
A
B
D
C
Bissetriz perpendicular de uma corda
A bissetriz perpendicular de uma corda passa pelo centro do círculo. Esta propriedade é construtiva quando se trata de desenhar o centro de um círculo usando cordas.
Tomemos uma corda (AB) e sua bissetriz perpendicular (CD). De acordo com esta propriedade, a linha (CD) cortará a corda (AB) em seu ponto médio e passará pelo centro do círculo. Note:
Hey
A
B
D
C
Exemplos e exercícios
Vamos aplicar essas propriedades das cordas e resolver alguns exercícios. Isso lhe dará uma compreensão abrangente dos conceitos.
Exemplo 1
Dadas duas cordas iguais (AB) e (CD) em um círculo com centro (O), prove que:
- A perpendicular traçada de (O) bissecta (AB) e (CD)
- Os ângulos nos segmentos formados por (AB) e (CD) são iguais
Solução: Como as cordas são iguais ((AB = CD)), estão equidistantes de (O). Portanto, (OM) e (ON) são bissectores perpendiculares de (AB) e (CD), respectivamente.
Exemplo 2
Uma corda (AB) de comprimento 8 cm, distância perpendicular do centro (O) é 3 cm é dada por:
- Calcular o raio do círculo.
Solução: Deixe a perpendicular traçada de (O) encontrar (AB) em (M). Assim, (M) é 4 cm, uma vez que a corda (AB) é bissectada:
De acordo com o teorema de Pitágoras:
OM2 + AM2 = OA2 32 + 42 = OA2 9 + 16 = OA2 OA = 5 cm (raio)Exercício
Tente resolver estes problemas para consolidar sua compreensão:
- Se duas cordas de um círculo são iguais, então prove que as distâncias dessas cordas ao centro do círculo são iguais.
- Em um círculo de raio 10 cm, uma corda tem 12 cm de comprimento. Encontre a distância da corda ao centro do círculo.
Conclusão
O estudo das cordas dentro dos círculos nos proporciona uma compreensão mais profunda da geometria dos círculos. Compreender as relações e propriedades associadas às cordas é fundamental para resolver problemas geométricos em tópicos mais avançados. Através da visualização e aplicação prática, o conceito de cordas pode se tornar menos abstrato e mais intuitivo, servindo como a estrutura fundamental para uma miríade de construções geométricas e teoremas.
Comentários