Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Comprender las propiedades de los acordes en los círculos


Un acorde es una línea recta que une dos puntos en la circunferencia de un círculo. Entre las diversas propiedades y conceptos relacionados con los círculos, los acordes juegan un papel importante, especialmente en la geometría. Comprender las propiedades de los acordes nos da la capacidad de explorar una amplia gama de conceptos geométricos y resolver problemas complejos que involucran círculos. Vamos a profundizar en las propiedades de los acordes y entenderlas en detalle.

Propiedades básicas de los acordes

Antes de explorar más las propiedades de los acordes, consideremos una comprensión básica de lo que es un círculo. Un círculo es una figura cerrada donde todos los puntos están a la misma distancia de un punto central. Esta distancia constante desde el centro hasta la circunferencia se llama radio.

Ahora, considera un acorde en un círculo. El segmento de línea que forma el acorde divide al círculo en dos regiones distintas, que pueden ser segmentos o arcos. Algunas propiedades básicas de un acorde son:

  • El acorde más largo de un círculo es su diámetro.
  • Si los acordes tienen la misma longitud, entonces están equidistantes del centro del círculo.

Acordes iguales y distancia desde el centro

Una propiedad importante de los acordes es el concepto de equidistancia desde el centro. En otras palabras, si dos acordes son iguales en longitud, entonces están equidistantes del centro. A la inversa, si dos acordes están equidistantes del centro, entonces deben ser iguales en longitud.

Por ejemplo, considere un círculo con centro (O). Si los acordes (AB) y (CD) son iguales, entonces están equidistantes de (O). Representemos esto visualmente en el siguiente ejemplo:


    
        
        
        
        Hey
        A
        B
        C
        D

Perpendicular desde el centro al acorde

Si dibujas una perpendicular desde el centro de un círculo hasta un acorde, esta perpendicular biseca el acorde. Esta es otra propiedad importante de los acordes en los círculos.

Esta propiedad implica que si (OM) es la perpendicular desde el centro (O) al acorde (AB), entonces (M) es el punto medio de (AB). Veamos esto con una ayuda visual:


    
        
        
        
        
        Hey
        A
        B
        M

Desarrollo del acorde y arco

Hay una relación interesante entre un acorde y los arcos que forma en un círculo. Dos principales teorías abordan esta relación:

  1. Si dos acordes de un círculo son iguales, entonces los arcos que subtienden también serán iguales.
  2. Por otro lado, si dos arcos son iguales, entonces los acordes que los intersectan también son iguales.

Por ejemplo, si ( overset{frown}{AB} ) y ( overset{frown}{CD} ) son arcos iguales, entonces los acordes (AB) y (CD) también son iguales en longitud. Explicamos esto:


    
        
        
        
        B
        A
        D
        C

Ángulos en el mismo segmento

Los ángulos subtenidos por el acorde en cualquier punto del segmento restante del círculo son iguales. Este principio se conoce como el teorema de los ángulos en segmentos iguales.

Considera un acorde (AB). Ahora, dibuja dos puntos (C) y (D) en la circunferencia, que se encuentran en el mismo lado del acorde. Entonces, (angle ACB = angle ADB). Visualicemos este concepto:


    
        
        
        
        
        
        A
        B
        D
        C

Bisector perpendicular de un acorde

El bisector perpendicular de un acorde pasa por el centro del círculo. Esta propiedad es constructiva cuando se trata de dibujar el centro de un círculo usando acordes.

Tomemos un acorde (AB) y su bisector perpendicular (CD). De acuerdo con esta propiedad, la línea (CD) cortará el acorde (AB) en su punto medio y pasará por el centro del círculo. Nota:


    
        
        
        
        
        Hey
        A
        B
        D
        C

Ejemplos y ejercicios

Apliquemos estas propiedades de los acordes y resolvamos algunos ejercicios. Esto te dará una comprensión integral de los conceptos.

Ejemplo 1

Dado dos acordes iguales (AB) y (CD) en un círculo con centro (O), demuestre que:

  • La perpendicular trazada desde (O) biseca (AB) y (CD)
  • Los ángulos en los segmentos formados por (AB) y (CD) son iguales

Solución: Dado que los acordes son iguales ((AB = CD)), están equidistantes de (O). Por lo tanto, (OM) y (ON) son bisectores perpendiculares de (AB) y (CD), respectivamente.

Ejemplo 2

Un acorde (AB) de longitud 8 cm, a una distancia perpendicular del centro (O) es 3 cm está dado por:

  • Calcule el radio del círculo.

Solución: Sea la perpendicular dibujada desde (O) que se encuentra con (AB) en (M). Por lo tanto, (M) es 4 cm, ya que el acorde (AB) es bisecado:

Según el teorema de Pitágoras:

OM 2 + AM 2 = OA 2 3 2 + 4 2 = OA 2 9 + 16 = OA 2 OA = 5 cm (radio)

Ejercicio

Intenta resolver estos problemas para solidificar tu comprensión:

  1. Si dos acordes de un círculo son iguales, entonces demuestre que las distancias de estos acordes desde el centro del círculo son iguales.
  2. En un círculo de radio 10 cm, un acorde mide 12 cm de largo. Encuentre la distancia del acorde desde el centro del círculo.

Conclusión

El estudio de los acordes dentro de los círculos nos proporciona una comprensión más profunda de la geometría de los círculos. Comprender las relaciones y propiedades asociadas con los acordes es fundamental para resolver problemas geométricos en temas más avanzados. A través de la visualización y la aplicación práctica, el concepto de los acordes puede volverse menos abstracto y más intuitivo, sirviendo como el marco fundamental para una multitud de construcciones geométricas y teoremas.


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