वृत्त के गुण
वृत्त एक सरल लेकिन आकर्षक ज्यामितीय आकार है, और इसे एक समतल में दिए गए बिंदु से तय दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे केंद्र कहा जाता है। आइए वृत्त के विभिन्न गुणों पर एक गहरा नज़र डालें ताकि इसे बेहतर समझ सकें।
केंद्र और त्रिज्या
वृत्त का केंद्र वह बिंदु है, जिससे वृत्त पर हर बिंदु समान दूरी पर होता है। इस दूरी को केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक त्रिज्या कहा जाता है। यदि हम वृत्त के केंद्र को C और वृत्त के किसी भी बिंदु को P द्वारा दर्शाते हैं, तो वृत्त को निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
(x - h)² + (y - k)² = r²यहाँ, (h, k) वृत्त का केंद्र है, और r त्रिज्या है।
व्यास
वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है। यह वृत्त के केंद्र से होकर गुजरने वाली सबसे लंबी दूरी होती है। व्यास को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
d = 2rजहाँ d व्यास है और r त्रिज्या है।
परिधि
वृत्त की परिधि उसके चारों ओर की दूरी होती है। इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना किया जा सकता है:
C = 2πrवैकल्पिक रूप से, इसे व्यास का उपयोग करके इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
C = πdजहाँ π (पाई) लगभग 3.14159 है।
क्षेत्रफल
वृत्त द्वारा आवृत्त क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:
A = πr²यह सूत्र वृत्त द्वारा घेरी गई जगह की गणना करने में मदद करता है।
जीवा
जीवा एक रेखा खंड है जिसके दोनों छोर एक वृत्त पर होते हैं। वृत्त की सबसे लंबी जीवा उसका व्यास होती है।
चाप
चाप वृत्त की परिधि का एक हिस्सा होता है। चाप को डिग्री में मापा जा सकता है। अर्द्धवृत्त एक ऐसा चाप है जो वृत्त का आधा भाग दर्शाता है।
केकड़ा
केकड़ा एक क्षेत्र होता है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से सीमित होता है। यह एक पाई के टुकड़े की तरह दिखता है।
स्पर्श रेखा
स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो एक वृत्त को केवल एक ही बिंदु पर स्पर्श करती है। यह कभी भी वृत्त के अंदर नहीं जाती।
उदाहरणों के साथ वृत्त के गुणों को समझना
इन गुणों को बेहतर ढंग से समझने के लिए आइए कुछ उदाहरणों को देखें:
उदाहरण 1: व्यास खोजना
मान लें कि वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। वृत्त का व्यास खोजने के लिए:
d = 2r = 2 × 7 = 14 सेमीउदाहरण 2: परिधि की गणना
यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है, तो परिधि को निम्नलिखित रूप में गणना की जा सकती है:
C = 2πr = 2 × 3.14159 × 5 ≈ 31.4159 सेमीउदाहरण 3: वृत्त का क्षेत्रफल
10 सेमी त्रिज्या के वृत्त का क्षेत्रफल:
A = πr² = 3.14159 × 100 = 314.159 सेमी²उदाहरण 4: जीवाओं को समझना
5 सेमी त्रिज्या के वृत्त की जीवा 8 सेमी लंबी है। क्या आप देख सकते हैं कि जीवा केंद्र से कितनी दूर है?
केंद्र से जीवा तक लम्ब का उपयोग करते हुए:
मान लें कि दूरी h है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: r² = (जीवा की लंबाई/2)² + h² 5² = 4² + h² 25 = 16 + h² h² = 25 - 16 h² = 9 h = 3 सेमीउदाहरण 5: स्पर्श रेखा का गुण
वृत्त की स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या लंबवत होती हैं। इसलिए केंद्र C से बिंदु P पर स्पर्श रेखा इस प्रकार दी जाती है:
CP ⊥ स्पर्श रेखा पर Pये उदाहरण वृत्त के गुणों की बहुमुखी और अनुप्रयोगों को उजागर करते हैं। इन गुणों को समझना रोचक हो सकता है क्योंकि ये उन्नत ज्यामिति विषयों की नींव रखते हैं।
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