परिभाषाएँ और शर्तें
ज्यामिति में, वृत्त एक सरल बंद आंकड़ा है जो तल में दिए गए बिंदु, केंद्र से एक निश्चित दूरी पर सभी बिंदुओं द्वारा बनता है। वृत्त पर किसी भी बिंदु की केंद्र से दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। वृत्त ज्यामिति के अध्ययन में एक मौलिक आंकड़ा है और यह विभिन्न गणितीय अवधारणाओं में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। हम वृत्तों से संबंधित बुनियादी शब्दावली और परिभाषाओं को खोजेंगे, एक स्पष्ट समझ प्रदान करेंगे और उदाहरणों के साथ इन अवधारणाओं को चित्रित करेंगे।
वृत्त की परिभाषा
गणितीय रूप से वृत्त को विमान में सभी बिंदुओं के सम्मिलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक निश्चित बिंदु से निश्चित दूरी पर होते हैं। इस निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहा जाता है, और निश्चित दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। यदि वृत्त का केंद्र बिंदु (h, k) पर है और त्रिज्या r है, तो वृत्त के सभी बिंदु (x, y) निम्नलिखित संबंध का पालन करते हैं:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
वृत्त के घटक
- केंद्र: वृत्त का केंद्रीय बिंदु, जिससे घेरा पर सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं। स्थानिक निर्देशांक प्रणाली में, केंद्र का स्थान
(h, k)के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। - त्रिज्या: वृत्त के केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक का रेखा खंड। त्रिज्या हमेशा वृत्त के समाप्त बिंदु पर व्यास के लंबवत होती है।
- व्यास: एक कॉर्ड जो वृत्त के केंद्र से गुजरती है। यह वृत्त की सबसे लंबी दूरी होती है और त्रिज्या के दो गुना के बराबर होती है, अर्थात्
व्यास = 2 * त्रिज्या। - परिधि: परिधि वृत्त के चारों दिशाओं की संपूर्ण दूरी को संदर्भित करती है। त्रिज्या
rवाला वृत्त के लिए, परिधिCसूत्र द्वारा दी जाती है:c = 2 * π * r
जहांπलगभग 3.14159 होता है। - चाप: वृत्त की परिधि का एक हिस्सा। जब आप वृत्त पर दो भिन्न बिंदु बनाते हैं और उन्हें वृत्त के साथ छोटे रास्ते से जोड़ते हैं, तो उतपन खंड को एक चाप कहा जाता है।
- ज्या: एक लाइन खंड जिसके छोर वृत्त पर होते हैं। व्यास वृत्त की सबसे लंबी ज्या होती है।
- सिकेन: एक रेखा जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है। ज्या के विपरीत, एक सिकेन वृत्त के बिंदुओं तक सीमित नहीं होती है बल्कि विमान में अनिश्चित रूप से विस्तारित होती है।
- स्पर्शरेखा: एक रेखा जो ठीक एक बिंदु पर वृत्त को छूती है। स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
ऊपर दी गई दृश्य उदाहरण में, काला वृत्त एक मानक वृत्त को प्रदर्शित करता है जिसमें लेबल्ड तत्व होते हैं। लाल रेखा केंद्र से गुजरने वाले व्यास का प्रतिनिधित्व करती है। केंद्र से परिधि तक का हरा रेखा खंड त्रिज्या है। नीली रेखा एक स्पर्शरेखा है, जो वृत्त को एक बिंदु पर छूती है।
वृत्त के गुण
ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में वृत्त के गुण को समझना बहुत महत्वपूर्ण है। कुछ प्रमुख गुणों में शामिल हैं:
- वृत्त की सभी त्रिज्या समान होती हैं।
- वृत्त की सबसे लंबी ज्या उसका व्यास होता है।
- व्यास द्वारा वृत्त के किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण एक समकोण (90 डिग्री) होता है।
- किसी भी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करने पर स्थिरांक
πप्राप्त होता है।
आओ हम कुछ और उदाहरणों को देखें कि इन गुणों को व्यवहार में कैसे लागू किया जाता है। कल्पना करें कि आपके पास केंद्र (5, 5) और त्रिज्या 5 का एक वृत्त है। वृत्त का समीकरण है:
(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2
उदाहरण और समस्या समाधान
आइए हम कुछ व्यावहारिक उदाहरणों का उपयोग करें ताकि इन अवधारणाओं का अनुप्रयोग समझ सकें।
उदाहरण 1: परिधि की गणना
यदि वृत्त की त्रिज्या 7 सें.मी. है, तो परिधि ज्ञात करें।
इसे हल करने के लिए, परिधि सूत्र का उपयोग करें:
c = 2 * π * r
त्रिज्या मान प्रतिस्थापित करें:
c = 2 * π * 7 ≈ 2 * 3.14159 * 7 ≈ 43.98 सें.मी.
अतः वृत्त की परिधि लगभग 43.98 सें.मी. है।
उदाहरण 2: वृत्त का समीकरण प्राप्त करना
मान लीजिए एक वृत्त का केंद्र (1, 2) है और त्रिज्या 4 इकाई है। वृत्त का समीकरण लिखें।
मानक वृत्त समीकरण में मान को प्लग करें:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4^2
इसे सरल बनाएं:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16
अतः वृत्त का समीकरण (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16 है।
उदाहरण 3: चाप के साथ कार्य करना
10 सें.मी. त्रिज्या वाले वृत्त को देखा जाए, केंद्र पर 60 डिग्री का कोण बनाने वाले चाप की लंबाई क्या होगी?
चाप लंबाई सूत्र का उपयोग करें:
चाप लंबाई = (θ / 360) * 2 * π * r
यहां, θ = 60 डिग्री और r = 10 सें.मी. हैं। इन मानों को प्रतिस्थापित करें:
चाप लंबाई = (60/360) * 2 * π * 10 ≈ (1/6) * 2 * 3.14159 * 10 ≈ 10.47 सें.मी.
इस प्रकार चाप की लंबाई लगभग 10.47 सें.मी. है।
उदाहरण 4: स्पर्शरेखा को पहचानना
मान लीजिए एक वृत्त का केंद्र (0, 0) है और त्रिज्या 5 है। यदि एक रेखा बिंदु (5, 0) से गुजरती है और उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, तो दिखाएँ कि यह रेखा एक स्पर्शरेखा है।
चूंकि रेखा त्रिज्या के लंबवत है, यह वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है, जो एक स्पर्शरेखा रेखा की परिभाषी विशेषता है। अतः बिंदु (5, 0) के माध्यम से गुजरने वाली रेखा, जो वृत्तीय रूप से मिलती है, स्पर्शरेखा रेखा है।
यह आरेख दिखाता है कि बिंदु (5, 0) पर त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।
निष्कर्ष
वृत्तों से संबंधित शब्दों और परिभाषाओं को समझना ज्यामिति में अधिक जटिल विषयों को समझने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। इन परिभाषाओं, शब्दावली और उदाहरणों के साथ, आप ज्यामितीय सिद्धांतों को बेहतर समझ सकते हैं और संबंधित समस्याओं को कुशलता से हल कर सकते हैं। इन सिद्धांतों का अतिरिक्त अभ्यास करें, अपनी अवधारणाओं को गहरा कर, जैसे कि त्रिज्या, व्यास, परिधि, चाप, ज्या, सिकेन और स्पर्शरेखा, जो कि वृत्त की ज्यामिति के मौलिक तत्व हैं।
टिप्पणियाँ