Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Definiciones y términos


En geometría, un círculo es una figura cerrada simple formada por todos los puntos en el plano que están a una distancia fija de un punto dado, el centro. La distancia de cualquier punto en el círculo desde el centro se llama el radio. El círculo es una figura fundamental en el estudio de la geometría y proporciona una visión de varios conceptos matemáticos. Exploraremos la terminología básica y las definiciones relacionadas con los círculos, proporcionaremos un entendimiento claro e ilustraremos estos conceptos con ejemplos.

Definición de círculo

Matemáticamente, un círculo se define como el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una cierta distancia fija de un cierto punto fijo. Este punto fijo se llama el centro del círculo, y la distancia fija se llama el radio. Si el centro de un círculo está en el punto (h, k) y el radio es r, entonces todos los puntos (x, y) en el círculo satisfacen la siguiente relación:

    (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Componentes de un círculo

  1. Centro: El punto central de un círculo, desde el cual todos los puntos en la circunferencia son equidistantes. En el sistema de coordenadas cartesianas, la ubicación del centro se puede expresar como (h, k).
  2. Radio: Un segmento de línea desde el centro de un círculo a cualquier punto del círculo. El radio es siempre perpendicular al tangente al círculo en el extremo del círculo.
  3. Diámetro: Un cordón que pasa por el centro de un círculo. Es la distancia más larga del círculo y es igual al doble del radio. i.e. Diámetro = 2 * Radio.
  4. Circunferencia: La circunferencia se refiere a toda la distancia alrededor del círculo. Para un círculo con radio r, la circunferencia C se da por la fórmula: 
     c = 2 * π * r
    donde π es aproximadamente 3.14159.
  5. Arco: Una porción de la circunferencia de un círculo. Cuando dibujas dos puntos distintos en un círculo y los conectas por el camino más corto a lo largo del círculo, el segmento resultante se llama un arco.
  6. Cuerda: Un segmento de línea cuyos extremos se encuentran en un círculo. El diámetro es la cuerda más larga de un círculo.
  7. Secante: Una línea que intersecta un círculo en dos puntos. A diferencia de una cuerda, una secante no está limitada a los puntos de un círculo sino que se extiende indefinidamente en el plano.
  8. Tangente: Una línea que toca un círculo en exactamente un punto. El tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto.
radio Diámetro línea tangente

En el ejemplo visual anterior, el círculo negro representa un círculo estándar con elementos etiquetados. La línea roja representa el diámetro que pasa por el centro. El segmento de línea verde desde el centro hasta la circunferencia es el radio. La línea azul es un tangente, tocando el círculo en un solo punto.

Propiedades del círculo

Entender las propiedades de un círculo es muy importante al resolver problemas geométricos. Algunas de las propiedades clave incluyen:

  • Todos los radios de un círculo son iguales.
  • La cuerda más larga de un círculo es su diámetro.
  • El ángulo subtendido por el diámetro en cualquier punto de un círculo es un ángulo recto (90 grados).
  • Dividir la circunferencia de cualquier círculo por su diámetro da la constante π.

Veamos algunos ejemplos más para entender cómo funcionan estas propiedades en la práctica. Imagina que tienes un círculo con un centro en (5, 5) y un radio de 5. La ecuación del círculo es:

    (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2

Ejemplos y resolución de problemas

Utilicemos algunos ejemplos prácticos para entender las aplicaciones de estos conceptos.

Ejemplo 1: Calcular el perímetro

Si el radio de un círculo es 7 cm, encuentra la circunferencia.

Para resolver esto, utiliza la fórmula del perímetro:

    c = 2 * π * r

Sustituye el valor del radio:

    c = 2 * π * 7 ≈ 2 * 3.14159 * 7 ≈ 43.98 cm

Por lo tanto, la circunferencia del círculo es aproximadamente 43.98 cm.

Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de un círculo

Supongamos que un círculo tiene centro en (1, 2) y un radio de 4 unidades. Escribe la ecuación del círculo.

Inserta los valores en la ecuación estándar del círculo:

    (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4^2

Esto lo simplifica:

    (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16

Por lo tanto, la ecuación del círculo es (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16.

Ejemplo 3: Trabajar con arco

Dado un círculo de radio 10 cm, ¿cuál es la longitud del arco que subtiende un ángulo de 60 grados en el centro?

Usa la fórmula para la longitud del arco:

    Longitud del arco = (θ / 360) * 2 * π * r

Aquí, θ = 60 grados y r = 10 cm. Sustituye estos valores:

    Longitud del arco = (60/360) * 2 * π * 10 ≈ (1/6) * 2 * 3.14159 * 10 ≈ 10.47 cm

Por lo tanto, la longitud del arco es aproximadamente 10.47 cm.

Ejemplo 4: Identificar la tangente

Considera un círculo con centro en (0, 0) y radio 5. Si una línea pasa por el punto (5, 0) y es perpendicular al radio en ese punto, muestra que esta línea es una tangente.

Como la línea es perpendicular al radio, toca al círculo en exactamente un punto, que es la característica definitoria de una línea tangente. Por lo tanto, la línea a través del punto (5, 0) que encuentra al círculo perpendicularmente es la línea tangente.

radio línea tangente

Este diagrama muestra cómo el radio es perpendicular a la tangente en el punto (5, 0).

Conclusión

Entender los términos y definiciones relacionados con los círculos es muy importante para comprender temas más complejos en geometría. Con estas definiciones, terminología y ejemplos, puedes comprender mejor y aplicar principios geométricos y resolver problemas relacionados de manera eficiente. Recuerda practicar estos principios con ejercicios adicionales, profundizando tu comprensión de conceptos como radio, diámetro, circunferencia, arco, cuerda, secante y tangente, todos los cuales son fundamentales para la geometría de los círculos.


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