त्रैशिक संख्याएँ

गणित की दुनिया में, संख्याओं को विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है ताकि हम उन्हें अच्छे से समझ सकें और गणनाओं को कुशलता से कर सकें। एक महत्वपूर्ण श्रेणी त्रैशिक संख्याएँ हैं। लेकिन त्रैशिक संख्याएँ वास्तव में होती क्या हैं? आइए इस अवधारणा को गहराई से समझें ताकि अंत तक यह अवधारणा स्पष्ट और समझने योग्य बन सके।

समझें कि त्रैशिक संख्याएँ क्या होती हैं

त्रैशिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें a/b के अंश के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a और b पूर्णांक होते हैं, और b (हर) शून्य के बराबर नहीं होता। यहाँ, a को अंशक कहा जाता है, और b को हर कहा जाता है। "त्रैशिक" शब्द "अनुपात" शब्द से लिया गया है, जो इस संदर्भ में दो पूर्णांकों का अनुपात बताता है।

त्रैशिक संख्याओं के उदाहरण:

• 1/2 (एक साधारण भिन्न)
• -3/4 (एक ऋणात्मक भिन्न)
• 6/1 (पूर्णांक को भिन्न के रूप में व्यक्त किया गया)
• 0 (जिसे 0/1 के रूप में लिखा जा सकता है)

त्रैशिक संख्याओं का दृश्यात्मक प्रतिनिधित्व

उपरोक्त चित्र में, काली रेखा संख्या रेखा का प्रतिनिधित्व करती है जिसमें त्रैशिक संख्याएँ होती हैं। लाल बिंदु -1/2 के अनुरूप है, और नीला बिंदु 1/2 के अनुरूप है। ये बिंदु दिखाते हैं कि त्रैशिक संख्याएँ संख्या रेखा पर ठीक-ठीक रखी जा सकती हैं।

त्रैशिक संख्याओं के गुण

बंद संपत्ति

जोड़, घटाव, गुणा, और भाग (शून्य को छोड़कर) के लिए, त्रैशिक संख्याएँ बंद होती हैं। इसका मतलब है कि जब आप दो त्रैशिक संख्याओं पर इनमें से कोई भी क्रिया करते हैं, तो आपको हमेशा एक और त्रैशिक संख्या परिणामस्वरूप प्राप्त होती है।

(3/4) + (1/2) = (3*2 + 4*1) / (4*2) = 10/8 = 5/4

परिवर्ती और संघटक गुण

जोड़ और गुणा के लिए त्रैशिक संख्याएँ परिवर्ती और संघटक गुणों का पालन करती हैं। इसका मतलब है:

(a/b) + (c/d) = (c/d) + (a/b) [(a/b) + (c/d)] + (e/f) = (a/b) + [(c/d) + (e/f)]

वितरक गुण

त्रैशिक संख्याएँ वितरक गुण का भी पालन करती हैं जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

(a/b) * [(c/d) + (e/f)] = (a/b) * (c/d) + (a/b) * (e/f)

जोड़ात्मक और गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व

किसी भी त्रैशिक संख्या a/b के लिए एक जोड़ात्मक प्रतिलोम -a/b होता है ताकि:

(a/b) + (-a/b) = 0

इसी प्रकार, प्रत्येक गैर-शून्य त्रैशिक संख्या a/b का गुणात्मक प्रतिलोम b/a होता है ताकि:

(a/b) * (b/a) = 1

रूपांतरों के बीच का परिवर्तन

दशमलव से भिन्न तक

एक दशमलव संख्या त्रैशिक होती है यदि इसे भिन्न के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। त्रैशिक दशमलव दो प्रकार के होते हैं: समाप्त होने वाले और आवर्ती।

समाप्त होने वाले दशमलव के लिए, आप इसे अपने हर के लिए दस की शक्ति के रूप में दशमल स्थानों की संख्या का उपयोग करके सीधे एक भिन्न में परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दशमलव संख्या 0.75 पर विचार करें।

0.75 = 75/100 = 3/4

आवर्ती दशमलव के लिए

आवर्ती दशमलव 0.666... को एक त्रैशिक संख्या के रूप में मानें। मान लें कि x = 0.666... फिर इसे 10 से गुणा करें, जो देता है:

10x = 6.666...

इन समीकरणों को घटाने पर, 9x = 6, जो देता है:

x = 6/9 = 2/3

त्रैशिक संख्याओं की तुलना

दो त्रैशिक संख्याओं a/b और c/d की तुलना करते समय, आप इसे सरलता के लिए क्रॉस-गुणा कर सकते हैं:

a/b > c/d यदि और केवल यदि ad > bc

1/3 और 2/5 पर विचार करें, और तय करें कि कौन बड़ा है:

1*5 = 5 और 3*2 = 6, अत: 1/3 < 2/5

त्रैशिक संख्याओं पर संचालन

जोड़ और घटाव

त्रैशिक संख्याओं को जोड़ने या घटाने के लिए, आपके पास समान हर होना चाहिए। उदाहरण के लिए:

(1/3) + (2/5) = (1*5 + 2*3) / 15 = 5/15 + 6/15 = 11/15

गुणा

अंशकों को आपस में और हरों को आपस में गुणा करें:

(1/3) * (2/5) = (1*2) / (3*5) = 2/15

भाग

विभाजक के व्युत्क्रम से गुणा करें:

(1/3) ÷ (2/5) = (1/3) * (5/2) = 5/6

त्रैशिक संख्याओं का अध्ययन क्यों करें?

विभिन्न गणितीय अवधारणाओं और वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में त्रैशिक संख्याएँ महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। वे भिन्नों, अनुपातों, और अनुपातियों में मौलिक होती हैं जो विभिन्न क्षेत्रों जैसे कि भौतिकी, इंजीनियरिंग, और अर्थशास्त्र में उपयोग की जाती हैं। त्रैशिक संख्याओं को समझने से उन्नत गणितीय सिद्धांतों को समझने में मदद मिलती है जिसमें बीजगणित और कलन भी शामिल हैं।

निष्कर्ष

त्रैशिक संख्याएँ संख्या प्रणाली का अभिन्न अंग हैं। उनके गुणों को पहचानना और यह जानना कि वे अन्य संख्याओं के साथ कैसे बातचीत करती हैं, गणितीय समझ को काफी बढ़ा सकता है। चाहे साधारण भिन्नों को दर्शाना हो या जटिल अनुपातों को, त्रैशिक संख्याएँ गणितीय विषयों में संभावनाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती हैं।

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