Построение четырёхугольника

В практической геометрии обучение рисованию четырёхугольников является важной частью понимания того, как фигуры могут быть нарисованы и измерены точно. Четырёхугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. Четыре стороны, четыре угла и сумма внутренних углов, которая всегда равна 360 градусам, являются важными свойствами четырёхугольников.

Основные понятия и терминология

• Вершина: Точка, где встречаются две стороны многоугольника.
• Стороны: Отрезки линий, составляющие многоугольник.
• Диагональ: Отрезок линии, соединяющий две несмежные вершины внутри многоугольника.
• Внутренние углы: Углы, образованные внутри многоугольника.

Различные типы четырёхугольников включают квадраты, прямоугольники, параллелограммы, ромбы, кайт и трапеции. Каждый из них имеет уникальные свойства, влияющие на способ их построения.

Типы четырёхугольников

Квадрат

Квадрат — это четырёхугольник, у которого все четыре стороны равны по длине, и все углы равны 90 градусам.

Прямоугольник

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны, и каждый угол равен 90 градусам.

Параллелограмм

У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны, и противоположные углы также равны.

Ромб

Ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны по длине.

Кайт

Кайт имеет две пары смежных сторон, равных по длине.

Трапеция

У трапеции есть пара противоположных сторон, которые параллельны.

Этапы построения четырёхугольника

Для построения четырёхугольника необходимо знать следующие данные:

• Четыре стороны и одна диагональ
• Три стороны и две диагонали
• Две смежные стороны и три угла
• Три стороны и два прилежащих угла

Пошаговое построение четырёхугольника с использованием четырёх сторон и диагонали

Рассмотрим пример построения четырёхугольника ABCD, даны четыре стороны AB, BC, CD, DA и диагональ AC:

1. Начертите линию AB = 6 см.
2. Из точки A начертите дугу радиусом, равным AC.
3. Из точки B начертите дугу радиусом, равным BC, которая пересекает предыдущую дугу в точке C.
4. Соедините AC и BC.
5. Из точки C начертите дугу радиусом, равным CD.
6. Начертите дугу радиусом, равным DA, из точки A, которая пересекает дугу, начерченную из C, в точке D.
7. Соедините CD и DA. Четырёхугольник ABCD построен.

Дано: AB = 6 см, BC = 5 см, CD = 4 см, DA = 5 см, AC = 7 см

∙ A──B (6см)
   
∙ ____C (5см)
 /
∙ D (4см)
Фигура: Четырёхугольник ABCD

Пошаговое построение четырёхугольника с тремя сторонами и двумя диагоналями

Рассмотрим построение четырёхугольника PQRS, даны три стороны PQ, QR, RS и диагонали PR и QS:

1. Начертите линию PQ = 5 см.
2. Начертите дугу радиусом PR = 8 см из точки P.
3. Из точки Q начертите дугу радиусом QR = 7 см, которая пересекает первую дугу в точке R.
4. Соедините PR и QR.
5. Начертите дугу радиусом RS = 6 см из точки R.
6. Из точки P начертите дугу QS = 9 см, которая пересекает дугу, начерченную из R, в точке S.
7. Соедините RS и PS, чтобы завершить четырёхугольник PQRS.

Дано: PQ = 5 см, QR = 7 см, RS = 6 см, PR = 8 см, QS = 9 см

∙ P──Q (5см)
   
∙ ____R (7см)
 /
∙ S (6см)
Фигура: Четырёхугольник PQRS

Пошаговое построение четырёхугольника с двумя смежными сторонами и тремя углами

Постройте четырёхугольник EFGH, заданы две смежные стороны EF, FG и три угла <EFG, <FGH и <GHE:

1. Начертите линию EF = 4 см.
2. В точке F начертите угол <EFG = 60 градусов и начертите FG = 5 см.
3. Постройте угол <FGH = 90 градусов в точке G.
4. С помощью циркуля возьмите радиус, равный GH, и начертите дугу.
5. Аналогично, угол <GHE = 120 градусов и начертите дугу в точке H.
6. Пересеките дуги, начерченные из G и H, чтобы найти точку E.
7. Соедините HE, чтобы завершить четырёхугольник EFGH.

Дано: EF = 4 см, FG = 5 см
Углы: <EFG = 60°, <FGH = 90°, <GHE = 120°

∙ E──F (4 см)
  
∙  g (5см)
∙ ∕ / (60°)
∙ H (90°)
Фигура: Четырёхугольник EFGH

Пошаговое построение с тремя сторонами и двумя прилежащими углами

Рассмотрим построение четырёхугольника IJKL, заданы три стороны IJ, JK, KL и два угла <IJK и <JKL:

1. Начертите линию IJ = 7 см.
2. В точке J постройте угол <IJK = 75 градусов и начертите JK = 6 см.
3. Начертите дугу в точке K, образующую угол <JKL = 120 градусов.
4. Возьмите радиус KL = 5 см от K и пересеките его с дугой, начерченной из L, чтобы получить точку L.
5. Добавьте IL по необходимости, чтобы завершить четырёхугольник.

Дано: IJ = 7 см, JK = 6 см, KL = 5 см
Углы: <IJK = 75°, <JKL = 120°

∙ I──J (7см)
  
∙ ____k (6 см)
∙ ∕ / (75°)
∙ L (120°)
Фигура: Четырёхугольник IJKL

Свойства диагонали в четырёхугольнике

Для построения четырёхугольников важно понимать свойства диагоналей:

• Диагонали параллелограмма: Они пересекаются в середине.
• Диагонали прямоугольника: Они равны по длине и пересекаются в середине.
• Диагонали ромба: Они пересекаются под прямыми углами.
• Диагонали квадрата: Они равны и пересекаются под прямыми углами.

Эти свойства могут помочь вам точно построить четырёхугольники по заданным измерениям.

Заключение

Понимание основных геометрических концепций и свойств является важным для точного построения четырёхугольников. Практикуя различные методы построения четырёхугольников с заданными сторонами, углами и диагоналями, студенты могут развить прочную основу в практической геометрии. Эти знания важны не только в математике, но также применяются в реальных приложениях, таких как инженерия и дизайн.

комментарии