Построение параллелограмма и прямоугольника

Практическая геометрия включает в себя искусство и науку точного построения геометрических фигур с использованием правильных инструментов, таких как линейки, циркули и разделители. При работе с четырёхугольниками очень важно понимать, как их строить по заданным параметрам. В этом уроке мы углубляемся в построение двух конкретных типов четырёхугольников: параллелограммов и прямоугольников.

Понимание параллелограммов

Параллелограммом называется четырёхугольная фигура, у которой противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это свойство параллельности важно, так как оно определяет, как такие фигуры построены. Также сумма прилежащих углов в параллелограмме составляет 180 градусов.

Свойства параллелограмма можно резюмировать следующим образом:

• Противоположные стороны параллельны и равны: AB ∥ CD, AD ∥ BC, AB = CD, AD = BC
• Противоположные углы равны: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D
• Диагонали делят друг друга пополам

Построение параллелограмма

Для построения параллелограмма вам потребуются размеры некоторых элементов, например, длина прилежащих сторон и углы или длина диагонали. Вот как можно его нарисовать:

**Пример 1:** Постройте параллелограмм с заданными сторонами AB = 5 см и AD = 3 см и углом ∠A = 60°.

Шаг 1: Нарисуйте основание
- Нарисуйте отрезок AB = 5 см, используя линейку.
Шаг 2: Создайте угол
- В точке A используйте транспортир, чтобы сделать угол 60°.
Шаг 3: Измерьте высоту
- Проведите линию из точки A, образующую угол 60°.
- На этой линии измерьте от точки A расстояние AD = 3 см. Отметьте эту точку как D.
Шаг 4: Нарисуйте параллельные линии
- С помощью линейки проведите линию от точки D, параллельную AB.
- Проведите линию от точки B, параллельную AD.
- Эти две линии пересекутся в точке C.
Шаг 5: Соедините точки
- Соедините точки B и C, чтобы завершить параллелограмм ABCD.

На изображении выше обратите внимание на наклон, создаваемый данным 60-градусным углом, и на параллельность противоположных сторон. Эта конфигурация гарантирует, что ABCD является параллелограммом.

Понимание прямоугольников

Прямоугольник — это особый вид параллелограмма, у которого все внутренние углы равны 90 градусам, а противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, в дополнение к тому, что он является параллелограммом, прямоугольник также имеет следующие дополнительные свойства:

Свойства прямоугольника следующие:

• Все углы прямые: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
• Диагонали равны: AC = BD

Построение прямоугольника зачастую бывает простым из-за наличия прямых углов.

Построение прямоугольника

Чтобы нарисовать прямоугольник, вам обычно требуется длина двух прилежащих сторон. Вот как можно его нарисовать:

**Пример 2:** Постройте прямоугольник с сторонами AB = 6 см и AD = 4 см.

Шаг 1: Нарисуйте основание
- Начните с того, чтобы нарисовать отрезок AB = 6 см, используя линейку.
Шаг 2: Прямой угол в точке A
- В точке A используйте угольник для создания прямого угла (90°).
- Нарисуйте отрезок AD = 4 см, перпендикулярный AB.
Шаг 3: Воспроизведите стороны
- От точки D проведите линию, параллельную AB, используя тот же метод, что и для AB.
- От точки B проведите линию, параллельную AD.
- Эти линии пересекутся в точке C.
Шаг 4: Соедините точки для завершения прямоугольника
- Соедините точки B с C и D с C, чтобы сформировать прямоугольник ABCD.

На этой диаграмме каждый угол — это 90 градусов, что подчеркивает, что все углы прямоугольника являются прямыми. Также противоположные стороны равны и параллельны.

Текстовый пример: Атрибуция

Чтобы определить, является ли структура параллелограммом или прямоугольником, учитывайте заданные длины сторон и диагоналей. Этот пример использует логическое рассуждение, основанное на обсуждаемых свойствах.

**Пример 3:** Дана четырёхугольная фигура со сторонами AB = 7 см, BC = 5 см, CD = 7 см, DA = 5 см, проверьте, является ли она прямоугольником или параллелограммом, и найдите длины диагоналей, если они есть.

Шаг 1: Проверьте параллельность и равенство сторон
- AB = CD и BC = DA: Показывает, что это параллелограмм
Шаг 2: Подтвердите углы
- Все углы прямые (проверьте транспортиром): Это прямоугольник
Шаг 3: Рассчитайте диагонали, используя теорему Пифагора
- Используя один из прямоугольных треугольников, образованных половинами диагоналей: AC или BD = √((AB)^2 + (AD)^2)
- AC = BD = √((7)^2 + (5)^2) = √(74)

Этот пример показывает, как свойства фигуры помогают в её распознавании и как они влияют на её структуру.

Заключение

Понимание построения параллелограммов и прямоугольников позволяет студентам чертить точные геометрические фигуры и исследовать более сложные задачи в геометрии. Это повышает пространственное восприятие и понимание геометрических принципов. Овладение построением этих четырёхугольников важно, так как они являются основой для более сложных геометрических построений.

Эти знания также служат точкой входа для изучения других четырёхугольных форм и помогают студентам развивать лучшие навыки решения проблем при встрече с геометрией в практических или теоретических контекстах.

комментарии