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Construcción de paralelogramos y rectángulos
La geometría práctica involucra el arte y la ciencia de construir con precisión formas geométricas utilizando las herramientas adecuadas como reglas, brújulas y separadores. Al trabajar con cuadriláteros, es muy importante entender cómo construirlos a partir de los parámetros dados. En esta lección, profundizamos en la construcción de dos tipos específicos de cuadriláteros: paralelogramos y rectángulos.
Entendiendo los paralelogramos
Un paralelogramo es una figura de cuatro lados en la cual los lados opuestos son paralelos e iguales en longitud. Esta propiedad de paralelismo es importante porque determina cómo se construyen tales formas. Además, la suma de los ángulos adyacentes en un paralelogramo es de 180 grados.
Las propiedades de un paralelogramo se pueden resumir de la siguiente manera:
- Los lados opuestos son paralelos e iguales:
AB ∥ CD,AD ∥ BC,AB = CD,AD = BC - Los ángulos opuestos son iguales:
∠A = ∠Cy∠B = ∠D - Las diagonales se bisecan entre sí
Construcción de un paralelogramo
Para dibujar un paralelogramo necesitas las medidas de algunos elementos como la longitud de los lados adyacentes y los ángulos o la longitud de la diagonal. Así es como puedes dibujarlo:
**Ejemplo 1:** Construye un paralelogramo dados los lados AB = 5 cm y AD = 3 cm y el ángulo ∠A = 60°.
Paso 1: Dibuja la base
- Dibuja un segmento de línea AB = 5 cm usando una regla.
Paso 2: Crea el ángulo
- En el punto A, usa un transportador para hacer un ángulo de 60°.
Paso 3: Mide la altura
- Haz una línea desde el punto A que resuelva un ángulo de 60°.
- En esta línea, mide AD = 3 cm desde el punto A. Marca este punto como D.
Paso 4: Dibuja las paralelas
- Usa una regla para dibujar una línea desde D que sea paralela a AB.
- Dibuja una línea desde B paralela a AD.
- Estas dos líneas se intersectarán en el punto C.
Paso 5: Une los puntos
- Conecta los puntos B y C para completar el paralelogramo ABCD.
En la vista de arriba, nota la pendiente creada por el ángulo de 60 grados dado, y los lados opuestos son paralelos. Esta configuración asegura que ABCD sea un paralelogramo.
Entendiendo los rectángulos
Un rectángulo es un tipo especial de paralelogramo, con todos los ángulos interiores iguales a 90 grados y los lados opuestos iguales y paralelos. Así que, además de ser un paralelogramo, un rectángulo también tiene estas propiedades adicionales:
Las propiedades del rectángulo son las siguientes:
- Todos los ángulos son ángulos rectos:
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° - Las diagonales son iguales:
AC = BD
La construcción de un rectángulo a menudo puede ser simple debido a los ángulos rectos.
Construcción de un rectángulo
Para dibujar un rectángulo, generalmente necesitas la longitud de dos lados adyacentes. Así es como puedes dibujar un rectángulo:
**Ejemplo 2:** Construye un rectángulo con lados AB = 6 cm y AD = 4 cm.
Paso 1: Dibuja la base
- Comienza dibujando un segmento de línea AB = 6 cm usando una regla.
Paso 2: Ángulo recto en el punto A
- En el punto A, utiliza una escuadra para crear un ángulo recto (90°).
- Dibuja un segmento AD = 4 cm perpendicular a AB.
Paso 3: Replica los lados
- Desde el punto D, dibuja una línea paralela a AB siguiendo la misma técnica de medición utilizada para AB.
- Desde el punto B, extiende una línea paralela a AD.
- Estas se intersectarán en el punto C.
Paso 4: Conecta los puntos para completar el rectángulo
- Une los puntos B con C y D con C para formar el rectángulo ABCD.
En este diagrama, cada ángulo es de 90 grados, lo que enfatiza que todas las esquinas de un rectángulo forman ángulos rectos. Además, los lados opuestos son iguales y paralelos.
Ejemplo de texto: Atribución
Para determinar si la estructura es un paralelogramo o un rectángulo, considera las longitudes dadas de los lados y las diagonales. Este ejemplo utiliza el razonamiento lógico basado en las propiedades discutidas.
**Ejemplo 3:** Dado un cuadrilátero con lados AB = 7 cm, BC = 5 cm, CD = 7 cm, DA = 5 cm, verifica si es un rectángulo o un paralelogramo, y encuentra las longitudes de las diagonales, si las hay.
Paso 1: Verifica el paralelismo y la igualdad de los lados
- AB = CD y BC = DA: Muestra que es un paralelogramo
Paso 2: Verifica los ángulos
- Todos los ángulos son ángulos rectos (usa un transportador para confirmar): Es un rectángulo
Paso 3: Calcula las diagonales usando el teorema de Pitágoras
- Usando uno de los triángulos rectángulos formados por medias diagonales: AC o BD = √((AB)^2 + (AD)^2)
- AC = BD = √((7)^2 + (5)^2) = √(74)
Este ejemplo muestra cómo las propiedades de una figura ayudan en su reconocimiento y cómo afectan su estructura.
Conclusión
Entender la construcción de paralelogramos y rectángulos permite a los estudiantes dibujar formas geométricas precisas y explorar problemas más profundos en geometría. Mejora la conciencia espacial y la comprensión de los principios geométricos. Dominar la construcción de estos cuadriláteros es importante ya que forman la base para construcciones geométricas más complejas.
Este conocimiento también sirve como una puerta de entrada para explorar otras formas de cuadriláteros y ayuda a los estudiantes a desarrollar mejores habilidades de resolución de problemas al enfrentar geometría en contextos prácticos o teóricos.
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