मापन

गणित में, मापन वह शाखा है जो ज्यामितीय आकृतियों और उनकी मापदंडों जैसे लंबाई, घनफल, क्षेत्रफल, परिमाप, आदि के मापन से संबंधित है। यह दो-आयामी (2D) और तीन-आयामी (3D) आकृतियों दोनों से संबंधित है।

मापन की मूलभूत अवधारणाएँ

लंबाई

लंबाई दूरी की माप होती है। उदाहरण के लिए, एक पेंसिल की लंबाई यह बताती है कि पेंसिल कितनी लंबी है।

परिमाप

एक आकृति का परिमाप उस आकृति के चारों ओर की कुल दूरी होती है। कल्पना करें कि आप एक पार्क के चारों ओर एक बाड़ लगा रहे हैं, तो बाड़ की कुल लंबाई परिमाप होगी।

क्षेत्रफल

क्षेत्रफल सतह का आकार होता है। यह आकृति के अंदर के स्थान की मात्रा को मापता है। उदाहरण के लिए, यदि आप फर्श पर टाइल्स लगाना चाहते हैं, तो आवश्यक टाइल्स की संख्या फर्श के क्षेत्रफल पर निर्भर करेगी।

घनफल

घनफल यह मापता है कि कोई वस्तु कितना स्थान घेरे हुए है। एक फिश टैंक को विचार करें: इसका घनफल यह निर्धारित करता है कि यह कितना पानी समा सकता है।

अब, चलिए देखते हैं कि हम विभिन्न आकृतियों के लिए इन गुणों को कैसे मापते हैं।

दो-आयामी आकृतियों का मापन

आयत

आयत एक चार-पक्षीय आकृति होती है जिसके विपरीत पक्ष समान होते हैं और सभी कोण समकोण होते हैं।

आयत का परिमाप:

परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

उदाहरण: यदि लंबाई 8 इकाई और चौड़ाई 4 इकाई है, तो:

परिमाप = 2 × (8 + 4) = 24 इकाई

आयत का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

उदाहरण: उसी आयत के लिए, जिसका लंबाई = 8 इकाई और चौड़ाई = 4 इकाई है:

क्षेत्रफल = 8 × 4 = 32 वर्ग इकाई

वर्ग

वर्ग एक आयत है जिसके सभी पक्ष समान होते हैं।

वर्ग का परिमाप:

परिमाप = 4 × पक्ष

उदाहरण: यदि वर्ग की एक पक्ष की लंबाई 6 इकाई है, तो:

परिमाप = 4 × 6 = 24 इकाई

वर्ग का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = पक्ष × पक्ष

उदाहरण: 6 इकाई पक्ष वाले वर्ग के लिए:

क्षेत्रफल = 6 × 6 = 36 वर्ग इकाई

त्रिभुज

त्रिभुज में तीन पक्ष और तीन कोण होते हैं। विभिन्न आकार के आधार पर त्रिभुज के अलग-अलग प्रकार होते हैं। यहां हम साधारण त्रिभुज का सूत्र चर्चा करेंगे।

त्रिभुज का परिमाप:

परिमाप = पक्ष1 + पक्ष2 + पक्ष3

उदाहरण: यदि त्रिभुज के पक्षों की लंबाई 3 इकाई, 4 इकाई और 5 इकाई है, तो:

परिमाप = 3 + 4 + 5 = 12 इकाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल:

त्रिभुज का सबसे सामान्य सूत्र आधार और ऊंचाई का उपयोग करता है:

क्षेत्रफल = (आधार × ऊंचाई) / 2

उदाहरण: 5 इकाई आधार और 3 इकाई ऊंचाई वाले त्रिभुज के लिए:

क्षेत्रफल = (5 × 3) / 2 = 7.5 वर्ग इकाई

वृत्त

वृत्त एक केंद्रीय बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का समूह होता है।

वृत्त की परिधि:

परिधि = 2 × π × त्रिज्या

उदाहरण: यदि वृत्त की त्रिज्या 7 इकाई है, तो मानते हुए π लगभग 3.14 है:

परिधि = 2 × 3.14 × 7 = 43.96 इकाई

वृत्त का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = π × त्रिज्या × त्रिज्या

उदाहरण: उसी वृत्त के लिए, त्रिज्या = 7 इकाई:

क्षेत्रफल = 3.14 × 7 × 7 = 153.86 वर्ग इकाई

तीन-आयामी आकृतियों का मापन

घनाभ

घनाभ एक डिब्बा के आकार की 3D आकृति होती है जिसकी छह आयताकार सतहें होती हैं, और प्रत्येक विपरीत सतहों का जोड़ा समान होता है।

घनाभ की सतह का क्षेत्रफल:

सतह क्षेत्रफल = 2 × (लंबाई × चौड़ाई + चौड़ाई × ऊंचाई + ऊंचाई × लंबाई)

उदाहरण: यदि लंबाई 3 इकाई, चौड़ाई 4 इकाई, और ऊंचाई 5 इकाई है:

सतह क्षेत्रफल = 2 × (3 × 4 + 4 × 5 + 5 × 3) = 94 वर्ग इकाई

घनाभ का घनफल:

घनफल = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई

उदाहरण: वही आयामों का उपयोग करते हुए:

घनफल = 3 × 4 × 5 = 60 घन इकाई

घन

घन एक विशेष प्रकार का घनाभ है जिसमें सभी किनारे समान होते हैं।

घन की सतह का क्षेत्रफल:

सतह क्षेत्रफल = 6 × पक्ष × पक्ष

उदाहरण: यदि घन का किनारा 4 इकाई है:

सतह क्षेत्रफल = 6 × 4 × 4 = 96 वर्ग इकाई

घन का घनफल:

घनफल = पक्ष × पक्ष × पक्ष

उदाहरण: उसी घन के लिए:

घनफल = 4 × 4 × 4 = 64 घन इकाई

बेलन

बेलन में एक गोलाधार और एक निश्चित ऊंचाई होती है। यह एक कैन की तरह होता है।

बेलन की सतह का क्षेत्रफल:

कुल सतह क्षेत्रफल = 2 × π × त्रिज्या × (ऊंचाई + त्रिज्या)

उदाहरण: 3 इकाई त्रिज्या और 6 इकाई ऊंचाई वाले बेलन के लिए:

कुल सतह क्षेत्रफल = 2 × 3.14 × 3 × (6 + 3) = 169.56 वर्ग इकाई

बेलन का घनफल:

घनफल = π × त्रिज्या × त्रिज्या × ऊंचाई

उदाहरण: उन्हीं बेलन आयामों का उपयोग करते हुए:

घनफल = 3.14 × 3 × 3 × 6 = 169.56 घन इकाई

मापन के अनुप्रयोग

प्रमापन का दैनिक जीवन में अनगिनत अनुप्रयोग होते हैं, चाहे आप किसी दीवार को पेंट करने की योजना बना रहे हों और यह गणना करने के लिए कि कितने रंग की आवश्यकता होगी, या आप विभिन्न वस्तुओं और कंटेनरों की स्थान क्षमता को माप रहे हों।

उदाहरण 1: दीवार को पेंट करना

मान लीजिए कि आप 10 मीटर लंबी और 3 मीटर ऊंची आयताकार दीवार को पेंट करना चाहते हैं। आपको यह गणना करनी चाहिए कि कितना क्षेत्रफल है ताकि आपको कितना रंग खरीदना है:

क्षेत्रफल = लंबाई × ऊंचाई = 10 × 3 = 30 वर्ग मीटर

उदाहरण 2: तैरने की पूल को भरना

आपके पास 25 मीटर लंबी, 10 मीटर चौड़ी और 2 मीटर गहरी आयताकार तैरने की पूल है। पूल का घनफल पाने और वह कितना पानी समा सकता है:

घनफल = लंबाई × चौड़ाई × गहराई = 25 × 10 × 2 = 500 घन मीटर

उदाहरण 3: एक छप्पर का निर्माण

आप आयताकार फर्श योजना वाला एक छप्पर बनाना चाहते हैं। यदि फर्श 8 मीटर लंबा और 5 मीटर चौड़ा है, और आप इसके चारों ओर बाड़ लगाना चाहते हैं, तो आपको परिमाप जानना चाहिए:

परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2 × (8 + 5) = 26 मीटर

निष्कर्ष

मापन गणित में एक आवश्यक विषय है जिसका वास्तविक दुनिया में बहुत अधिक उपयोग होता है। विभिन्न आकृतियों के परिमाप, क्षेत्रफल, और घनफल की गणना कैसे करें इसे समझना, यह निर्माण से लेकर लॉजिस्टिक्स और उसके परे के कई क्षेत्रों में व्यावहारिक समस्याओं से निपटना आसान बनाता है।

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