Площадь поверхности и объем в измерении

Представьте, что вам подарили совершенно новую коробку, чудесный подарок, наполненный всевозможными сладостями. Вы любопытствуете, сколько картона было использовано для изготовления коробки или сколько сладостей можно хранить в ней. Эти вопросы относятся к двум концепциям математики: площади поверхности и объему, которые являются частью области изучения, известной как измерение.

Что такое площадь поверхности?

Площадь поверхности — это общая площадь, которую покрывает трехмерный объект. Если вы откроете коробку для подарков и разложите ее, количество картона, которое вы разложили, будет площадью поверхности.

Площадь поверхности различна для разных форм. Давайте узнаем об этих разных формах и о том, как найти их площадь поверхности.

Параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед имеет шесть граней: верхняя, нижняя, левая сторона, правая сторона, передняя и задняя. Каждая грань представляет собой прямоугольник, а противоположные грани идентичны. Чтобы рассчитать площадь поверхности, нужно найти площадь каждой грани и сложить эти площади.

Чтобы лучше это понять, давайте возьмем прямоугольник с длиной (l), шириной (b) и высотой (h).

Площадь поверхности параллелепипеда = 2(lb + bh + hl)

Куб

Куб — это особый вид прямоугольного параллелепипеда, где длина, ширина и высота равны. Это упрощает расчет площади поверхности, так как каждая из шести граней куба представляет собой квадрат со стороной a.

Площадь поверхности куба = 6a 2

Правильный круглый цилиндр

Цилиндр имеет одну изогнутую поверхность и два плоских круглых основания, поэтому его площадь поверхности включает площадь обоих кругов и изогнутую поверхность.

Площадь изогнутой поверхности цилиндра = 2πrh

Площадь обоих круглых оснований = 2πr 2

Общая площадь поверхности цилиндра = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)

Круг

Шар — это идеально круглая 3D-форма, где каждая точка на ее поверхности находится на одинаковом расстоянии от центра. Вычисление площади поверхности шара просто, потому что у него нет дополнительных граней или ребер.

Площадь поверхности шара = 4πr²

Что такое объем?

Объем — это пространство, занимаемое 3D-объектом. Рассмотрим коробку для сладостей, объем будет внутренней емкостью коробки, которая показывает, сколько сладостей она может вместить.

Как и площадь поверхности, расчет объема также варьируется для разных форм.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда определяется умножением его длины, ширины и высоты.

Объем параллелепипеда = l × b × h

Объем куба

Учтя, что куб имеет все равные стороны, его объем просто равен кубу длины стороны.

Объем куба = a 3

Объем правильного круглого цилиндра

Объем цилиндра определяется умножением площади его круглого основания на его высоту.

Объем цилиндра = πr²h

Объем шара

Объем шара вычисляется с использованием радиуса шара и формулы π.

Объем шара = (4/3)πr³

Примеры расчета площади поверхности и объема

Пример 1: Параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед имеет длину 5 см, ширину 3 см и высоту 2 см. Какова его площадь поверхности и объем?

Рассчитаем площадь поверхности:

Площадь поверхности = 2(lb + bh + hl)
= 2(5 × 3 + 3 × 2 + 2 × 5)
= 2(15 + 6 + 10)
= 2 × 31
= 62 см²

Рассчитаем объем:

Объем = L × W × H
= 5 × 3 × 2
= 30 см³

Пример 2: Куб

Длина стороны куба равна 4 см. Какова его площадь поверхности и объем?

Рассчитаем площадь поверхности:

Площадь поверхности = 6a²
= 6 × 4²
= 6 × 16
= 96 кв.см

Рассчитаем объем:

Объем = a³
= 4³
= 64 см³

Пример 3: Правильный круглый цилиндр

Цилиндр имеет радиус 3 см и высоту 7 см. Какова его площадь поверхности и объем?

Рассчитаем площадь поверхности:

Площадь поверхности = 2πr(h + r)
= 2 × 3.14 × 3 × (7 + 3)
= 18.84 × 10
= 188.4 см²

Рассчитаем объем:

Объем = πr²h
= 3.14 × 3² × 7
= 3.14 × 9 × 7
= 3.14 × 63
= 197.82 см³

Пример 4: Шар

Радиус шара равен 5 см. Какова его площадь поверхности и объем?

Рассчитаем площадь поверхности:

Площадь поверхности = 4πr²
= 4 × 3.14 × 5²
= 4 × 3.14 × 25
= 314 кв. см

Рассчитаем объем:

Объем = (4/3)πr³
= (4/3) × 3.14 × 5³
= (4/3) × 3.14 × 125
= 523.33 см³

Заключение

В математике понимание площади поверхности и объема помогает нам понять размер и вместимость трехмерных объектов. Площадь поверхности помогает узнать, сколько материала требуется для покрытия объекта, а объем показывает, сколько пространства он занимает. Оценка этих концепций развивает основные навыки для более высокого уровня математики и предоставляет практическую полезность во многих реальных приложениях.

комментарии