7º ano → Mensuração ↓
Área de superfície e volume na medição
Imagine que você ganhou uma caixa nova, um presente maravilhoso cheio de todo tipo de doces. Você está curioso para saber quanto papelão foi usado para fazer a caixa ou quantos doces podem ser armazenados na caixa. Estas perguntas referem-se a dois conceitos da matemática: área de superfície e volume, que fazem parte do campo de estudo conhecido como medição.
O que é área de superfície?
Área de superfície é a área total que um objeto tridimensional cobre. Se você abrir sua caixa de presente e a deitar plana, a quantidade de papelão que você possui é a área de superfície.
A área de superfície é diferente para diferentes formatos. Vamos aprender sobre essas diferentes formas e como encontrar sua área de superfície.
Paralelepípedo
Um paralelepípedo tem seis faces: superior, inferior, lado esquerdo, lado direito, frontal e traseira. Cada face é um retângulo, e as faces opostas são idênticas. Para calcular a área de superfície, você precisa encontrar a área de cada face e depois somar essas áreas.
Para compreender melhor, vamos considerar um retângulo com comprimento ( l ), largura ( b ) e altura ( h ).
Área de superfície do paralelepípedo = 2(lb + bh + hl)
Cubo
Um cubo é um tipo especial de paralelepípedo onde o comprimento, largura e altura são todos iguais. Isso simplifica o cálculo da área de superfície porque cada uma das seis faces de um cubo é um quadrado de lado a.
Área de superfície do cubo = 6a 2
Cilindro circular reto
Um cilindro possui uma superfície curva e duas bases circulares planas; portanto, sua área de superfície inclui a área de ambos os círculos e a superfície curva.
Área de superfície curva do cilindro = 2πrh
Área de ambas as bases circulares = 2πr 2
Área de superfície total do cilindro = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)
Esfera
Uma esfera é uma forma 3D perfeitamente redonda, onde cada ponto na superfície está à mesma distância do centro. Calcular a área de superfície de uma esfera é simples porque ela não possui faces ou arestas extras.
Área de superfície da esfera = 4πr²
O que é volume?
Volume é o espaço ocupado por um objeto 3D. Considere novamente a caixa de doces, o volume seria a capacidade interna da caixa, que informa quantos doces ela pode conter.
Assim como a área de superfície, o cálculo do volume também varia com diferentes formas.
Volume de um paralelepípedo
O volume de um paralelepípedo é encontrado multiplicando seu comprimento, largura e altura.
Volume do paralelepípedo = l × b × h
Volume de um cubo
Sendo que um cubo possui todos os lados iguais, seu volume é simplesmente o cubo do comprimento do lado.
Volume do cubo = a 3
Volume de um cilindro circular reto
O volume de um cilindro é determinado multiplicando a área de sua base circular por sua altura.
Volume do cilindro = πr²h
Volume de uma esfera
O volume de uma esfera é calculado usando o raio da esfera e a fórmula π.
Volume da esfera = (4/3)πr³
Exemplos de cálculo de área de superfície e volume
Exemplo 1: Paralelepípedo
Um paralelepípedo tem comprimento de 5 cm, largura de 3 cm e altura de 2 cm. Qual é a sua área de superfície e volume?
Calcule a área de superfície:
Área de superfície = 2(lb + bh + hl) = 2(5 × 3 + 3 × 2 + 2 × 5) = 2(15 + 6 + 10) = 2 × 31 = 62 cm²
Calcule o volume:
Volume = L × W × H = 5 × 3 × 2 = 30 cm³
Exemplo 2: Cubo
O comprimento do lado de um cubo é de 4 cm. Qual é a sua área de superfície e volume?
Calcule a área de superfície:
Área de superfície = 6a² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 sq.cm
Calcule o volume:
Volume = a³ = 4³ = 64 cm³
Exemplo 3: Cilindro circular reto
Um cilindro tem raio de 3 cm e altura de 7 cm. Qual é a sua área de superfície e volume?
Calcule a área de superfície:
Área de superfície = 2πr(h + r) = 2 × 3.14 × 3 × (7 + 3) = 18.84 × 10 = 188.4 cm²
Calcule o volume:
Volume = πr²h = 3.14 × 3² × 7 = 3.14 × 9 × 7 = 3.14 × 63 = 197.82 cm³
Exemplo 4: Esfera
O raio de uma esfera é de 5 cm. Qual é a sua área de superfície e volume?
Calcule a área de superfície:
Área de superfície = 4πr² = 4 × 3.14 × 5² = 4 × 3.14 × 25 = 314 sq. cm
Calcule o volume:
Volume = (4/3)πr³ = (4/3) × 3.14 × 5³ = (4/3) × 3.14 × 125 = 523.33 cm³
Conclusão
Na matemática, entender a área de superfície e o volume nos ajuda a entender a extensão e a capacidade dos objetos tridimensionais. A área de superfície nos ajuda a saber quanto material é necessário para cobrir um objeto, enquanto o volume nos diz quanto espaço ele ocupa. Apreciar esses conceitos constrói habilidades fundamentais para matemática de nível superior e fornece utilidade prática em muitas aplicações do mundo real.
Comentários