測定における表面積と体積
あなたが新品の箱を受け取ったと想像してみてください。あらゆる種類のお菓子が詰まった素晴らしい贈り物です。箱を作るのにどれだけの段ボールが使われたか、または箱にどれだけのお菓子が収まるか知りたくなるでしょう。これらの質問は、数学の2つの概念、表面積と体積に関連しており、測定として知られる研究分野の一部です。
表面積とは何ですか？
表面積は、3次元の物体が覆う総面積です。贈り物の箱を開いて平らにした場合、敷き詰めた段ボールの量が表面積です。
表面積は形状によって異なります。これらの異なる形状とその表面積を求める方法について学びましょう。
直方体
直方体には、上面、底面、左側面、右側面、前面、背面の6面があります。各面は長方形であり、対面は同一です。表面積を計算するには、各面の面積を求め、それらを合計します。
これをよりよく理解するために、長さ（l）、幅（b）、高さ（h）を持つ長方形を考えてみましょう。
直方体の表面積 = 2(lb + bh + hl)
立方体
立方体は、長さ、幅、高さがすべて等しい特殊な直方体です。これにより、各面が一辺aの正方形であるため、表面積の計算が簡略化されます。
立方体の表面積 = 6a 2
直円柱
円柱には1つの曲面と2つの平らな円形の底面があります。したがって、その表面積には円2つの面積と曲面が含まれます。
円柱の曲面積 = 2πrh
両方の円形底面の面積 = 2πr 2
円柱の総表面積 = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)
球
球は完全に丸い3D形状で、その表面上のすべての点が中心から等距離にあります。球の表面積を計算するのは簡単です。なぜなら、余分な面や辺がないからです。
球の表面積 = 4πr²
体積とは何ですか？
体積は3D物体が占める空間です。再び菓子箱を考えると、その体積は箱の内部容量であり、収納できるお菓子の量を示しています。
表面積と同様に、体積の計算も異なる形状によって異なります。
直方体の体積
直方体の体積は、その長さ、幅、高さを掛け算することによって求められます。
直方体の体積 = l × b × h
立方体の体積
立方体の側面がすべて等しいため、その体積は側面の長さの立方にすぎません。
立方体の体積 = a 3
直円柱の体積
円柱の体積は、円形底面の面積とその高さを掛けることによって決まります。
円柱の体積 = πr²h
球の体積
球の体積は、球の半径を用いてπの公式を使って計算します。
球の体積 = (4/3)πr³
表面積と体積の計算例
例1: 直方体
直方体の長さが5 cm、幅が3 cm、高さが2 cmです。その表面積と体積はどれくらいですか？
表面積を計算します:
表面積 = 2(lb + bh + hl) = 2(5 × 3 + 3 × 2 + 2 × 5) = 2(15 + 6 + 10) = 2 × 31 = 62 cm²
体積を計算します:
体積 = L × W × H = 5 × 3 × 2 = 30 cm³
例2: 立方体
立方体の側面の長さが4 cmです。その表面積と体積はどれくらいですか？
表面積を計算します:
表面積 = 6a² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 sq.cm
体積を計算します:
体積 = a³ = 4³ = 64 cm³
例3: 直円柱
円柱の半径が3 cm、高さが7 cmです。その表面積と体積はどれくらいですか？
表面積を計算します:
表面積 = 2πr(h + r) = 2 × 3.14 × 3 × (7 + 3) = 18.84 × 10 = 188.4 cm²
体積を計算します:
体積 = πr²h = 3.14 × 3² × 7 = 3.14 × 9 × 7 = 3.14 × 63 = 197.82 cm³
例4: 球
球の半径が5 cmです。その表面積と体積はどれくらいですか？
表面積を計算します:
表面積 = 4πr² = 4 × 3.14 × 5² = 4 × 3.14 × 25 = 314 sq. cm
体積を計算します:
体積 = (4/3)πr³ = (4/3) × 3.14 × 5³ = (4/3) × 3.14 × 125 = 523.33 cm³
結論
数学では、表面積と体積を理解することで、3次元オブジェクトの範囲と容量についての理解が深まります。表面積は物体を覆う材料の量を知るのに役立ち、体積はその物体が占める空間の大きさを示します。これらの概念を理解することは、高度な数学の基礎的なスキルを築くのに役立ち、また多くの実世界の応用にも実用的なユーティリティを提供します。
コメント