मापन में सतह क्षेत्रफल और आयतन

कल्पना करें कि आपको एक नई डिब्बा मिला है, एक अद्भुत उपहार जो हर प्रकार की मिठाईयों से भरा है। आप जानना चाहते हैं कि बॉक्स बनाने में कितना कार्डबोर्ड का उपयोग किया गया था या बॉक्स में कितनी मिठाईयां रखी जा सकती हैं। ये प्रश्न गणित के दो अवधारणाओं को संदर्भित करते हैं: सतह क्षेत्रफल और आयतन, जो मापन के रूप में ज्ञात अध्ययन के क्षेत्र का हिस्सा हैं।

सतह क्षेत्रफल क्या है?

सतह क्षेत्रफल वह कुल क्षेत्र है जिसे एक तीन-आयामी वस्तु कवर करती है। यदि आप अपने उपहार की डिब्बी को खोलते हैं और उसे समतल पर रखते हैं, तो आपने जितना कार्डबोर्ड फैलाया है, वह सतह क्षेत्रफल है।

विभिन्न आकारों के लिए सतह क्षेत्रफल अलग-अलग होता है। चलो इन विभिन्न आकारों के बारे में जानें और उनके सतह क्षेत्रफल का पता लगाएं।

घनाभ

एक घनाभ की छह जमी होती हैं: ऊपर, नीचे, बायां पक्ष, दांया पक्ष, सामने, और पीछे। प्रत्येक जमी एक आयत होती है, और विपरीत जमी समान होती हैं। सतह क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको प्रत्येक जमी का क्षेत्रफल जानना होता है और फिर इन क्षेत्रफलों को एक साथ जोड़ना होता है।

इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, चलो हम एक आयत लेते हैं जिसकी लम्बाई ( l ), चौड़ाई ( b ) और ऊँचाई ( h ) है।

घनाभ का सतह क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

घन

एक घन एक विशेष प्रकार का घनाभ है जिसमें लम्बाई, चौड़ाई, और ऊँचाई सभी समान होती हैं। इससे सतह क्षेत्रफल की गणना आसान हो जाती है क्योंकि घन के छह जमी प्रत्येक एक बर्ग होती हैं जिसकी भुजा a होती है।

घन का सतह क्षेत्रफल = 6a 2

समकोणीय बेलन

एक बेलन की एक घुमावदार सतह होती है और दो समतल गोल आधार होते हैं; इसलिए इसका सतह क्षेत्रफल दोनों वृत्तों और घुमावदार सतह के क्षेत्रफल को शामिल करता है।

बेलन का घुमावदार सतह क्षेत्रफल = 2πrh

दोनों गोल आधारों का क्षेत्रफल = 2πr 2

बेलन का कुल सतह क्षेत्रफल = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)

गोलक

गोलक एक पूर्ण गोलाकार 3D आकृति होती है, जिसमें प्रत्येक बिंदु उसके केंद्र से समान दूरी पर होता है। गोलक का सतह क्षेत्रफल निकालना आसान होता है क्योंकि इसमें अतिरिक्त जमी या किनारे नहीं होते हैं।

गोलक का सतह क्षेत्रफल = 4πr²

आयतन क्या है?

आयतन वह जगह है जो एक 3D वस्तु घेरती है। मिठाईयों के डिब्बे में फिर से लौटें, आयतन वह आन्तरिक क्षमता होगी जो आपको बताएगी कि उसमें कितनी मिठाईयां समा सकती हैं।

सतह क्षेत्रफल की तरह, आयतन की गणना भी विभिन्न आकारों के साथ बदलती है।

घनाभ का आयतन

एक घनाभ का आयतन उसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को गुणा करके प्राप्त होता है।

घनाभ का आयतन = l × b × h

घन का आयतन

क्योंकि एक घन के सभी भुजाएं समान होती हैं, इसका आयतन इसके भुजा की घन ताकत होती है।

घन का आयतन = a 3

समकोणीय बेलन का आयतन

एक बेलन का आयतन उसके गोल आधार के क्षेत्रफल को उसकी ऊँचाई से गुणा करके प्राप्त होता है।

बेलन का आयतन = πr²h

गोलक का आयतन

गोलक का आयतन गणना करने के लिए गोलक के त्रिज्या का उपयोग किया जाता है, और π का सूत्र प्रयुक्त होता है।

गोलक का आयतन = (4/3)πr³

सतह क्षेत्रफल और आयतन की गणना के उदाहरण

उदाहरण 1: घनाभ

एक घनाभ की लम्बाई 5 सेमी, चौड़ाई 3 सेमी और ऊँचाई 2 सेमी है। इसका सतह क्षेत्रफल और आयतन क्या होगा?

सतह क्षेत्रफल की गणना करें:

सतह क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(5 × 3 + 3 × 2 + 2 × 5)
= 2(15 + 6 + 10)
= 2 × 31
= 62 सेमी²

आयतन की गणना करें:

आयतन = L × W × H
= 5 × 3 × 2
= 30 सेमी³

उदाहरण 2: घन

एक घन की भुजा की लम्बाई 4 सेमी है। इसका सतह क्षेत्रफल और आयतन क्या है?

सतह क्षेत्रफल की गणना करें:

सतह क्षेत्रफल = 6a²
= 6 × 4²
= 6 × 16
= 96 स्क्वे. सेमी

आयतन की गणना करें:

आयतन = a³
= 4³
= 64 सेमी³

उदाहरण 3: समकोणीय बेलन

एक बेलन की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है। इसका सतह क्षेत्रफल और आयतन क्या है?

सतह क्षेत्रफल की गणना करें:

सतह क्षेत्रफल = 2πr(h + r)
= 2 × 3.14 × 3 × (7 + 3)
= 18.84 × 10
= 188.4 सेमी²

आयतन की गणना करें:

आयतन = πr²h
= 3.14 × 3² × 7
= 3.14 × 9 × 7
= 3.14 × 63
= 197.82 सेमी³

उदाहरण 4: गोलक

एक गोलक की त्रिज्या 5 सेमी है। इसका सतह क्षेत्रफल और आयतन क्या है?

सतह क्षेत्रफल की गणना करें:

सतह क्षेत्रफल = 4πr²
= 4 × 3.14 × 5²
= 4 × 3.14 × 25
= 314 स्क्वे. सेमी

आयतन की गणना करें:

आयतन = (4/3)πr³
= (4/3) × 3.14 × 5³
= (4/3) × 3.14 × 125
= 523.33 सेमी³

निष्कर्ष

गणित में, सतह क्षेत्रफल और आयतन को समझने से हम त्रि-आयामी वस्तुओं की सीमा और क्षमता को समझ सकते हैं। सतह क्षेत्रफल हमें यह जानने में मदद करता है कि किसी वस्तु को ढकने के लिए कितना सामग्री चाहिए, जबकि आयतन हमें बताता है कि वस्तु कितनी जगह घेरती है। इन अवधारणाओं की सराहना करने से उच्च-स्तर के गणित के लिए मौलिक कौशल का निर्माण होता है और कई वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगों में व्यावहारिक उपयोगिता प्राप्त होती है।

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