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Área de superficie y volumen en medición
Imagina que te han dado una caja nueva, un regalo maravilloso lleno de todo tipo de dulces. Tienes curiosidad por saber cuánta cartulina se utilizó para hacer la caja o cuántos dulces se pueden almacenar en ella. Estas preguntas se refieren a dos conceptos de las matemáticas: área de superficie y volumen, que forman parte del campo de estudio conocido como medición.
¿Qué es el área de superficie?
El área de superficie es el área total que cubre un objeto tridimensional. Si abres tu caja de regalo y la desarmas, la cantidad de cartulina que extiendes es el área de superficie.
El área de superficie es diferente para diferentes formas. Aprendamos sobre estas diferentes formas y cómo encontrar su área de superficie.
Paralelepípedo
Un paralelepípedo tiene seis caras: superior, inferior, lado izquierdo, lado derecho, frontal y trasera. Cada cara es un rectángulo, y las caras opuestas son idénticas. Para calcular el área de superficie, necesitas encontrar el área de cada cara y luego sumar estas áreas juntas.
Para entenderlo mejor, tomemos un rectángulo con longitud ( l ), ancho ( b ) y altura ( h ).
Área de superficie del paralelepípedo = 2(lb + bh + hl)
Cubo
Un cubo es un tipo especial de paralelepípedo donde la longitud, el ancho y la altura son iguales. Esto simplifica el cálculo del área de superficie porque cada una de las seis caras de un cubo es un cuadrado de lado a.
Área de superficie del cubo = 6a 2
Cilindro circular recto
Un cilindro tiene una superficie curva y dos bases circulares planas; por lo tanto, su área de superficie incluye el área de ambos círculos y la superficie curva.
Área de superficie curva del cilindro = 2πrh
Área de ambas bases circulares = 2πr 2
Área de superficie total del cilindro = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)
Círculo
Una esfera es una forma 3D perfectamente redonda, donde cada punto en su superficie está a la misma distancia de su centro. Calcular el área de superficie de una esfera es simple porque no tiene caras o bordes adicionales.
Área de superficie de la esfera = 4πr²
¿Qué es el volumen?
El volumen es el espacio ocupado por un objeto 3D. Considera nuevamente la caja de dulces, el volumen sería la capacidad interna de la caja, que te dice cuántos dulces puede contener.
Al igual que el área de superficie, el cálculo del volumen también varía con diferentes formas.
Volumen de un paralelepípedo
El volumen de un paralelepípedo se encuentra multiplicando su longitud, ancho y altura.
Volumen del paralelepípedo = l × b × h
Volumen de un cubo
Ya que un cubo tiene todos sus lados iguales, su volumen es simplemente el cubo de la longitud del lado.
Volumen del cubo = a 3
Volumen de un cilindro circular recto
El volumen de un cilindro se determina multiplicando el área de su base circular por su altura.
Volumen del cilindro = πr²h
Volumen de una esfera
El volumen de una esfera se calcula usando el radio de la esfera, y utiliza la fórmula π.
Volumen de la esfera = (4/3)πr³
Ejemplos de cálculo de área de superficie y volumen
Ejemplo 1: Paralelepípedo
Un paralelepípedo tiene una longitud de 5 cm, un ancho de 3 cm y una altura de 2 cm. ¿Cuál es su área de superficie y volumen?
Calcular el área de superficie:
Área de superficie = 2(lb + bh + hl) = 2(5 × 3 + 3 × 2 + 2 × 5) = 2(15 + 6 + 10) = 2 × 31 = 62 cm²
Calcular el volumen:
Volumen = L × W × H = 5 × 3 × 2 = 30 cm³
Ejemplo 2: Cubo
La longitud del lado de un cubo es 4 cm. ¿Cuál es su área de superficie y volumen?
Calcular el área de superficie:
Área de superficie = 6a² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 cm²
Calcular el volumen:
Volumen = a³ = 4³ = 64 cm³
Ejemplo 3: Cilindro circular recto
Un cilindro tiene un radio de 3 cm y una altura de 7 cm. ¿Cuál es su área de superficie y volumen?
Calcular el área de superficie:
Área de superficie = 2πr(h + r) = 2 × 3.14 × 3 × (7 + 3) = 18.84 × 10 = 188.4 cm²
Calcular el volumen:
Volumen = πr²h = 3.14 × 3² × 7 = 3.14 × 9 × 7 = 3.14 × 63 = 197.82 cm³
Ejemplo 4: Esfera
El radio de una esfera es 5 cm. ¿Cuál es su área de superficie y volumen?
Calcular el área de superficie:
Área de superficie = 4πr² = 4 × 3.14 × 5² = 4 × 3.14 × 25 = 314 cm²
Calcular el volumen:
Volumen = (4/3)πr³ = (4/3) × 3.14 × 5³ = (4/3) × 3.14 × 125 = 523.33 cm³
Conclusión
En matemáticas, comprender el área de superficie y el volumen nos ayuda a entender la extensión y capacidad de los objetos tridimensionales. El área de superficie nos ayuda a saber cuánta material se necesita para cubrir un objeto, mientras que el volumen nos dice cuánto espacio ocupa. Apreciar estos conceptos construye habilidades fundamentales para las matemáticas de nivel superior y ofrece utilidad práctica en muchas aplicaciones del mundo real.
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