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शंकु का आयतन और सतह क्षेत्रफल
ज्यामिति एक विशाल विषय है और आज हम इसके एक आकर्षक आकार के बारे में सीखेंगे: शंकु। शंकु प्रकृति में और हमारे चारों ओर की वस्तुओं में सामान्य हैं, जैसे कि आइसक्रीम कोन या पार्टी हैट। शंकुओं को बेहतर ढंग से समझने के लिए, उनके आयतन और सतह क्षेत्रफल पर चर्चा करना महत्वपूर्ण है। इस चर्चा के अंत तक, आपको इन आकारों के साथ काम करने की अच्छी समझ हो जाएगी।
शंकु क्या है?
शंकु एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति है। यह एक वृत्ताकार आधार होता है जो एक शीर्ष बिंदु से एक घुमावदार सतह द्वारा जुड़ा होता है। शंकु को एक त्रिभुज के रूप में सोचें जिसे इसके किनारों में से एक के चारों ओर घुमाया गया हो। महत्वपूर्ण बात यह है कि शंकु के दो मुख्य माप होते हैं जिन्हें आपको जानना होगा: इसकी ऊंचाई और इसके आधार का त्रिज्या।
शंकु का दृष्यीकरण
कल्पना करें कि आधार पर एक वृत्त है और उसके ऊपर एक बिंदु जिसे शीर्ष बिंदु कहते हैं। वृत्त की किनारे से सभी रेखाएं शीर्ष बिंदु पर मिलती हैं।
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शंकु का आयतन
आप निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके शंकु का आयतन निकाल सकते हैं:
आयतन = (1/3) × π × r² × h
जहां:
rआधार की त्रिज्या है।hशंकु की ऊंचाई है।π(पाई) एक गणितीय स्थिरांक है जो लगभग 3.14159 के बराबर है।
सूत्र की समझ
शंकु का आयतन उसी आधार और ऊंचाई वाले बेलन के आयतन का एक-तिहाई होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि शंकु को एक वृत्तीय आधार वाले पिरामिड के रूप में देखा जा सकता है।
उदाहरण: आयतन की गणना
मान लीजिए हमारे पास एक शंकु है जिसका आधार त्रिज्या 4 इकाई और ऊंचाई 9 इकाई है। शंकु के आयतन का सूत्र का उपयोग करके, हमारे पास है:
आयतन = (1/3) × π × (4)² × 9 = (1/3) × π × 16 × 9 = 48π ≈ 150.8 घन इकाई
शंकु की सतह क्षेत्रफल
शंकु की सतह का क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल और घुमावदार सतह के क्षेत्रफल का योग होता है। सूत्र है:
सतह क्षेत्रफल = π × r × (r + l)
जहां:
rआधार की त्रिज्या है।lशंकु की झुकाई ऊंचाई है।
झुकाई ऊंचाई की गणना
झुकाई ऊंचाई पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर पता की जा सकती है, खासकर जब ऊंचाई और त्रिज्या ज्ञात होते हैं। संबंध निम्न रूप में दिया गया है:
l = √(r² + h²)
उदाहरण: सतह क्षेत्रफल की गणना
उसी शंकु को मानते हुए, जिसके आधार की त्रिज्या 4 इकाई और ऊंचाई 9 इकाई है, पहले झुकाई ऊंचाई की गणना करें:
l = √(4² + 9²) = √(16 + 81) = √97 ≈ 9.8 इकाई
फिर, सतह क्षेत्रफल की गणना करें:
सतह क्षेत्रफल = π × 4 × (4 + 9.8) = π × 4 × 13.8 = 55.2π ≈ 173.4 वर्ग इकाई
शंकुओं के अनुप्रयोग
गणित के परे, शंकुओं को समझना कई वास्तविक जीवन की स्थितियों में सहायक होता है। चाहे कप डिजाइन करना हो, बड़े भंडारण साइलो में आयतन की गणना करना हो या इमारतों का निर्माण करना हो, शंकुओं का आयतन और सतह क्षेत्रफल महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
उदाहरण समस्याएं
समस्या 1: आइसक्रीम कोन
एक आइसक्रीम कोन की ऊंचाई 12 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है। शंकु का आयतन निकालें।
उपाय:
आयतन = (1/3) × π × (3)² × 12 = (1/3) × π × 9 × 12 = 36π ≈ 113.1 घन सेमी
समस्या 2: पार्टी हैट
एक पार्टी हैट शंकु के आकार का है जिसका आधार व्यास 10 इंच और झुकाई ऊंचाई 15 इंच है। कुल सतह क्षेत्रफल का पता लगाएं।
उपाय:
त्रिज्या व्यास का आधा होता है, तो r = 5 इंच।
सतह क्षेत्रफल = π × 5 × (5 + 15) = π × 5 × 20 = 100π ≈ 314.2 वर्ग इंच
प्रैक्टिस समस्याएं
- एक शंकु की ऊंचाई 8 सेमी है और आधार त्रिज्या 5 सेमी है। इसका आयतन निकालें।
- एक शंकु का सतह क्षेत्रफल निकालें जिसका त्रिज्या 7 मीटर और झुकाई ऊंचाई 25 मीटर है।
निष्कर्ष
शंकु का आयतन और सतह क्षेत्रफल समझना ज्यामिति का एक अभिन्न हिस्सा है और यह कई वास्तविक जीवन अनुप्रयोगों से निकटता से जुड़ा हुआ है। हमने सरल सूत्रों का उपयोग करके इनकी गणना के एक गहन अध्ययन किया है। अभ्यास करके, आप शंकुओं से संबंधित समस्याओं को विश्लेषण करने और हल करने में कुशल बन सकते हैं।
यादगार:
- आयतन सूत्र:
आयतन = (1/3) × π × r² × h। - सतह क्षेत्रफल में आधार और पार्श्व क्षेत्र शामिल होते हैं:
सतह क्षेत्रफल = π × r × (r + l)।
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