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प्रिज्म और सिलेंडर का आयतन
गणित में, जब हम एक ठोस आकृति का आयतन मापना चाहते हैं, तो हमें पहले यह समझना होता है कि आकृति कैसी दिखती है और उसकी संरचना क्या होती है। कक्षा 7 की गणित में, दो महत्वपूर्ण प्रकार की 3-आयामी आकृतियाँ जिनसे हम अक्सर मिलते हैं, वे हैं प्रिज्म और सिलेंडर। ये आकृतियाँ काफी आम हैं और हमारे आसपास की कई दैनिक वस्तुओं में पाई जाती हैं।
आयतन क्या है?
आयतन एक वस्तु द्वारा घेरित स्थान का माप है। इसे अक्सर घन इकाइयों में मापा जाता है जैसे कि घन सेंटीमीटर (cm3), घन मीटर (m3), आदि। यदि आप घनों से भरे एक डिब्बे के बारे में सोचते हैं, तो आयतन वह सभी छोटे घन का गिनती होगा जो डिब्बे के अंदर होते हैं।
प्रिज्म क्या हैं?
एक प्रिज्म एक ठोस वस्तु है जिसकी दो समान छोर और चपटे किनारे होते हैं। महत्वपूर्ण बात यह याद रखने की है कि इसका क्रॉस-सेक्शन इसकी लंबाई में नहीं बदलता। छोर या आधार प्रिज्म का नाम तय करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आधार एक त्रिकोण है, तो उसे त्रिकोणीय प्रिज्म कहा जाता है।
प्रिज्म के उदाहरण
- त्रिकोणीय प्रिज्म
- आयताकार प्रिज्म (जिसे घनाभ भी कहा जाता है)
- षट्कोणीय प्रिज्म
प्रिज्म का दृश्य उदाहरण
एक आयताकार प्रिज्म का निम्नलिखित सरल दृश्य प्रतिनिधित्व पर विचार करें:
हाइलाइट किया गया भाग प्रिज्म के शीर्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो उसके आधारों में से एक का प्रतीक है। अन्य चपटे सतहें इन दो छोरों को जोड़ती हैं। दो छोरों के बीच क्रॉस-सेक्शन पूरे आकार में समान रहता है।
प्रिज्म का आयतन कैसे निकालें?
प्रिज्म का आयतन प्राप्त करने के लिए आधार के क्षेत्रफल को प्रिज्म की ऊंचाई से गुणा किया जाता है। गणितीय शब्दों में:
प्रिज्म का आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई
त्रिकोणीय प्रिज्म की गणना का उदाहरण
आइए एक त्रिकोणीय प्रिज्म का आयतन निकालते हैं। मान लीजिए हमारे पास एक प्रिज्म है जिसका आधार एक समकोण त्रिभुज है जिसकी लंबाई 3 सेमी है और ऊँचाई 4 सेमी है। प्रिज्म की ऊँचाई 10 सेमी है।
पहले, त्रिकोणीय आधार का क्षेत्रफल निकालें:
आधार का क्षेत्रफल = 1/2 × त्रिकोण के आधार × त्रिकोण की ऊँचाई = 1/2 × 3 सेमी × 4 सेमी = 6 सेमी²
अब प्रिज्म का आयतन निकालें:
आयतन = आधार क्षेत्रफल × प्रिज्म की ऊँचाई = 6 सेमी² × 10 सेमी = 60 सेमी³
सिलेंडर क्या है?
एक सिलेंडर एक ठोस वस्तु है जिसमें दो समान वृत्ताकार आधार होते हैं जो एक घुमावदार सतह से जुड़े होते हैं। इसकी लंबाई में क्रॉस-सेक्शन प्रिज्म के समान होता है लेकिन घुमावदार किनारों के साथ।
सिलेंडर का दृश्य उदाहरण
वृत्ताकार भाग सिलेंडर के आधार बनाते हैं। घुमावदार सतह इन दो आधारों को जोड़ती है और उनके चारों ओर लपेटती है।
सिलेंडर का आयतन कैसे निकालें?
सिलेंडर का आयतन सिलेंडर के वृत्तीय आधार के क्षेत्रफल को सिलेंडर की ऊँचाई से गुणा करके निकाला जाता है। सूत्र है:
सिलेंडर का आयतन = π × त्रिज्या² × ऊँचाई
यहाँ, π (पाई) लगभग 3.14159 है।
सिलेंडर की गणना का उदाहरण
आइए एक सिलेंडर का आयतन निकालते हैं जिसका वृत्तीय आधार का त्रिज्या 5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।
पहले आधार का क्षेत्रफल निकालें:
आधार का क्षेत्रफल = π × त्रिज्या² = π × (5 सेमी)² = π × 25 सेमी² ≈ 78.54 सेमी²
अब सिलेंडर का आयतन निकालें:
आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई = 78.54 सेमी² × 12 सेमी ≈ 942.48 सेमी³
तुलना और निष्कर्ष
हालांकि प्रिज्म और सिलेंडर अपने आधार और पार्श्व संरचनाओं के मामले में भिन्न होते हैं, दोनों का आयतन आधार क्षेत्रफल को ऊँचाई से गुणा करके पाया जा सकता है। इन आकृतियों के आयतन को समझना हमें वास्तविक दुनिया की समस्याओं पर लागू करने में मदद करता है, चाहे वह यह जानना हो कि एक कंटेनर कितना सामान रख सकता है या निर्माण के लिए कितने सामग्री की आवश्यकता है।
इन अवधारणाओं की ठोस समझ छात्रों की शिक्षा में प्रगति के साथ अधिक जटिल ज्यामितीय और गणितीय अध्ययन के लिए मार्ग प्रशस्त करती है। हमेशा याद रखें, विभिन्न उदाहरणों के साथ अभ्यास से इन आवश्यक गणितीय अवधारणाओं को समझने और मास्टर करने में बहुत मदद मिल सकती है।
विभिन्न आकृतियों के आधारों को, विभिन्न त्रिज्याओं और ऊँचाइयों के साथ प्रिज्म और सिलेंडर के लिए आज़माते रहें ताकि आप देख सकें कि आयतन कैसे बदलता है। ये खोजबीनें मज़ेदार और सूचनात्मक हो सकती हैं, जो तीन-आयामी स्थानों की समझ को गहरा करती हैं।