7º ano
  1. Sistema de números  1.1. Inteiros  1.1.1. Propriedades dos inteiros  1.1.2. Operações com inteiros  1.1.3. Inversos aditivos e multiplicativos  1.1.4. Aplicações dos números inteiros  1.2. Números racionais  1.2.1. Definição de números racionais  1.2.2. Propriedades dos números racionais  1.2.3. Operações com números racionais  1.2.4. Forma padrão de números racionais  1.3. Compreendendo decimais no sistema numérico  1.3.1. Operações com decimais  1.3.2. Entendendo frações e decimais  1.4. Potências e expoentes  1.4.1. Leis dos expoentes  1.4.2. Simplificando expressões com expoentes  1.4.3. Entendendo a notação científica  1.5. Raízes  1.5.1. Raiz quadrada  1.5.2. Raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressões em álgebra  2.1.1. Introdução às expressões algébricas  2.1.2. Simplificação de expressões  2.1.3. Avaliando a expressão  2.2. Introdução às equações lineares  2.2.1. Resolvendo equações simples  2.2.2. Aplicações de Equações Lineares  2.3. Identidades algébricas  2.3.1. Expansão usando identidades  2.3.2. Simplificação usando identidades
  3. Razão e proporção  3.1. Compreendendo razões  3.1.1. Entendendo proporções  3.1.2. Compreendendo a simplificação de razões  3.1.3. Razão equivalente  3.2. Compreendendo a razão na matemática  3.2.1. O conceito de proporção  3.2.2. Proporção direta  3.2.3. Compreendendo a proporção inversa  3.3. Compreendendo o método unitário  3.3.1. Resolvendo problemas usando o método unitário
  4. Geometria  4.1. Linhas e ângulos  4.1.1. Tipos de ângulos  4.1.2. Pares de ângulos  4.1.3. Propriedades de linhas paralelas e uma transversal  4.1.4. Introdução aos bissetores de ângulos  4.2. Compreendendo triângulos na geometria  4.2.1. Tipos de triângulos  4.2.2. Propriedade da soma dos ângulos  4.2.3. Introdução às propriedades dos ângulos externos  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Compreendendo a congruência de triângulos  4.3.1. Critérios de conformidade  4.3.2. Aplicações da congruência  4.4. Quadrilátero  4.4.1. Tipos de quadriláteros  4.4.2. Propriedades do paralelogramo  4.4.3. Quadriláteros especiais  4.4.4. Propriedades dos retângulos e losangos
  5. Mensuração  5.1. Compreendendo perímetro e área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Compreendendo a área de um trapézio  5.1.4. Área de um paralelogramo  5.1.5. Área de um círculo  5.1.6. Compreendendo a área de formas compostas  5.2. Área de superfície e volume na medição  5.2.1. Cubo e paralelepípedo  5.2.2. Compreendendo a área de superfície de cilindros  5.2.3. Volume de um prisma e um cilindro  5.2.4. Volume e área de superfície de um cone
  6. Manipulação de dados  6.1. Coleta de dados  6.1.1. Organizando os dados  6.1.2. Distribuição de frequência  6.2. Representação gráfica de dados  6.2.1. Introdução aos Gráficos de Barras  6.2.2. Compreendendo gráficos de barras duplas  6.2.3. Compreendendo gráficos de pizza  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introdução aos gráficos de linha  6.3. Compreendendo a probabilidade na gestão de dados  6.3.1. Compreendendo eventos simples em probabilidade  6.3.2. Probabilidade experimental  6.3.3. Probabilidade teórica
  7. Geometria prática  7.1. Construção de triângulos  7.1.1. Construção de triângulos com comprimentos de lados dados  7.1.2. Construindo um triângulo com lado e ângulo dados  7.1.3. Construção de triângulos retângulos  7.2. Construção de quadrilátero  7.2.1. Dadas medidas laterais e ângulos de um quadrilátero  7.2.2. Construção de paralelogramo e retângulo

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Compreendendo a área de superfície de cilindros


Quando estudamos o mundo ao nosso redor em termos de formas e medidas, encontramos muitos objetos que têm uma forma cilíndrica. Formas cilíndricas são muito comuns tanto na natureza quanto em objetos feitos pelo homem. Exemplos incluem árvores, latas, tubos e até montanhas-russas. Hoje, exploraremos como encontrar a área de superfície desses cilindros, para que seja mais fácil de entender.

O que é um cilindro?

Um cilindro é uma figura tridimensional que possui dois círculos paralelos de tamanho igual no topo e na base. Esses círculos são chamados de bases do cilindro. A parte que conecta as duas bases é arredondada e é chamada de superfície lateral. Se você imaginar uma lata de sopa, considere o topo e a base como duas faces circulares e o rótulo curvo ao redor da lata como a superfície lateral.

                ,
               ,
              ,
             ,
            ,
           ,

Componentes do cilindro

1. Base

O cilindro tem duas bases, que são círculos. Essas bases circulares são perpendiculares e paralelas entre si. A distância entre as duas bases é chamada de altura do cilindro.

2. Altura

É a distância entre as duas bases circulares. Também é o comprimento do segmento de linha perpendicular que conecta os centros dos círculos.

3. Raio

O raio do cilindro é o raio da base circular. É a distância do centro da base até a borda.

4. Superfície lateral

Essa é a superfície curva que conecta as duas bases. Se você cortar a superfície lateral de cima a baixo e achatá-la, obterá um retângulo.

          ,      
         /base |      
        | | Altura 
         ,       
              Base

Visualizando a área de superfície de um cilindro

A área de superfície de um cilindro é a área total de todas as suas faces. Em palavras simples, é o espaço ocupado pela superfície externa do cilindro.

Se você abrir a borda de um cilindro e achatá-la, é isso que verá:

    ,
    | lateral | <-- é um retângulo
    ,
      ug
      ,

É calculada da seguinte forma:

Fórmula da área de superfície total

A área de superfície total de um cilindro é a soma das áreas de suas duas bases circulares e da área da superfície lateral. Abaixo está a fórmula usada para calculá-la:

 Área de Superfície Total = 2πr² + 2πrh

Onde:

  • r é o raio da base
  • h é a altura do cilindro
  • π é uma constante aproximadamente igual a 3.14159

Entendendo cada parte da fórmula

2πr² calcula a área de ambas as bases circulares. A fórmula para a área de um círculo é πr². Como existem duas bases, multiplica-se por 2. A parte 2πrh representa a área da superfície lateral. Isso pode ser pensado como a abertura lateral (que tem a forma de um retângulo) onde o comprimento é o perímetro da base (2πr) e a largura é a altura (h).

Exemplo passo a passo

Vamos resolver isso juntos!

Considere um cilindro com raio de 3 cm e altura de 5 cm. Vamos usar a fórmula para encontrar sua área de superfície.

  1. Calcule a área das bases circulares:
     2πr² = 2 * π * 3² = 2 * 3.14159 * 9 = 56.54867 cm²
  2. Calcule a área da superfície lateral:
     2πrh = 2 * π * 3 * 5 = 2 * 3.14159 * 15 = 94.2477 cm²
  3. Some os dois resultados para encontrar a área de superfície total:
     Área de Superfície Total = 56.54867 + 94.2477 = 150.79637 cm²

Outro exemplo

Suponha que um tanque de água cilíndrico tenha raio de 7 m e altura de 10 m. Calcule a área de superfície.

  1. Calcule a área das bases circulares:
     2πr² = 2 * π * 7² = 2 * 3.14159 * 49 = 307.87698 m²
  2. Calcule a área da superfície lateral:
     2πrh = 2 * π * 7 * 10 = 2 * 3.14159 * 70 = 439.82297 m²
  3. Some os dois resultados para encontrar a área de superfície total:
     Área de Superfície Total = 307.87698 + 439.82297 = 747.69995 m²

Detalhando ainda mais

Vamos analisar com mais detalhes como esses componentes trabalham juntos em um formato visual. Imagine que você corta a superfície lateral do cilindro ao longo de sua altura e a desenrola; você obterá um retângulo que tem:

  • Comprimento = circunferência da base, ou seja, 2πr
  • Largura = Altura do cilindro = h
    ,
    |lateral | <- Retângulo: Comprimento = 2πr, Largura = h
    ,
      oo <- círculo : área = πr² cada
      ,

Para um exercício simples, pense em embrulhar um rótulo ao redor de uma lata. O comprimento do rótulo cobre a circunferência da lata, e a altura do rótulo é igual à altura da lata.

Aplicações práticas

Por que aprendemos sobre a área de superfície de um cilindro? Saber como calcular a área de superfície pode ser incrivelmente útil na vida real. Algumas aplicações incluem:

  • Determinar a quantidade de material necessária para fazer um recipiente cilíndrico.
  • Trabalhos de pintura ou revestimento onde você precisa saber exatamente quanta área estará cobrindo.
  • Design de embalagens, para estimar quanto material de embalagem é necessário.

Problemas de prática

  1. Encontre a área de superfície total de um cilindro com raio de 4 cm e altura de 6 cm.
  2. Uma lata de sopa tem altura de 10 cm e raio de 3,5 cm. Qual é sua área de superfície?
  3. O raio de um tambor de produtos químicos é 1,5 m e a altura é 2 m. Encontre sua área de superfície.

Conclusão

A área de superfície de um cilindro é fácil de calcular uma vez que a dividimos em seus componentes - as duas bases circulares e o retângulo lateral. Compreender e calcular a área de superfície fornece informações inestimáveis ao lidar com qualquer forma cilíndrica na vida real, desde embrulhos de presentes até aplicações industriais.

Quer você seja um estudante, um pintor, ou alguém que trabalha em logística, a habilidade de entender e calcular a área de superfície é uma habilidade útil no mundo prático.

Dicas adicionais para os estudantes

Ao resolver problemas e trabalhar com a área de superfície de cilindros, lembre-se:

  • Certifique-se de que todas as suas medições estejam na mesma unidade.
  • Mantenha a matemática limpa e organizada para evitar erros.
  • Pratique com diferentes tipos de cilindros com diferentes raios e alturas.
  • Considere usar objetos do mundo real para aprimorar a compreensão.

Com a prática, calcular a área de superfície de cilindros se tornará uma tarefa simples. Continue praticando e explorando, e lembre-se de usar essas habilidades matemáticas para observar e medir o mundo ao seu redor!

Respostas aos exercícios

  1. Área de superfície total = 2π(4)² + 2π(4)(6) = 100.53096 + 150.796 = 251.327 cm²
  2. Área de superfície total = 2π(3.5)² + 2π(3.5)(10) = 76.96902 + 219.91149 = 296.8805 cm²
  3. Área de superfície total = 2π(1.5)² + 2π(1.5)(2) = 14.13717 + 18.84956 = 32.98673 m²

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