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सिलिंडर के सतही क्षेत्रफल को समझना
जब हम अपने चारों ओर की दुनिया का अध्ययन आकारों और माप के रूप में करते हैं, तो हम कई वस्तुओं से मिलते हैं जो सिलिंडर के आकार की होती हैं। सिलिंडर के आकार की वस्तुएं प्रकृति और मानव निर्मित दोनों में बहुत आम हैं। उदाहरण में पेड़, कैन, पाइप, और यहां तक कि रोलर कोस्टर शामिल हैं। आज, हम इन सिलिंडरों के सतही क्षेत्रफल को खोजने के तरीके का पता लगाएंगे, ताकि इसे समझना आसान हो सके।
सिलिंडर क्या है?
एक सिलिंडर तीन आयामी आकृति है जिसमें ऊपर और नीचे दो समान आकार के समांतर वृत्त होते हैं। इन वृत्तों को सिलिंडर के आधार कहा जाता है। दो आधारों को जोड़ने वाला भाग गोल होता है और इसे पार्श्व सतह कहा जाता है। यदि आप एक सूप कैन की कल्पना करते हैं, तो शीर्ष और आधार को दो गोलाकार सतहों के रूप में विचार करें और कैन के चारों ओर घुमावदार लेबल को पार्श्व सतह के रूप में मानें।
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सिलिंडर के घटक
1. आधार
सिलिंडर के पास दो आधार होते हैं, जो कि वृत्त होते हैं। ये गोलाकार आधार एक-दूसरे के प्रति लंबवत और समानांतर होते हैं। दो आधारों के बीच की दूरी को सिलिंडर की ऊँचाई कहा जाता है।
2. ऊँचाई
यह दो गोलाकार आधारों के बीच की दूरी होती है। यह उन गोलों के केंद्रों को जोड़ने वाले लंबवत रेखाखंड की लंबाई भी है।
3. त्रिज्या
सिलिंडर की त्रिज्या गोलाकार आधार की त्रिज्या होती है। यह आधार के केंद्र से किनारे तक की दूरी होती है।
4. पार्श्व सतह
यह दो आधारों को जोड़ने वाली घुमावदार सतह होती है। यदि आप पार्श्व सतह को ऊपर से नीचे तक काटते हैं और उसे समतल कर देते हैं, तो आपको एक आयताकार मिलेगा।
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/आधार |
| | ऊँचाई
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आधार
सिलिंडर के के सतही क्षेत्रफल की कल्पना करना
सतही क्षेत्रफल सिलिंडर के सभी चेहरों की कुल क्षेत्रफल होता है। सरल शब्दों में, यह सिलिंडर की बाहरी सतह द्वारा कब्जा की गई जगह होती है।
यदि आप सिलिंडर की किनारे को खोलते हो और इसे समतल करते हो, तो यह है जो आप देखेंगे:
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| साइड | <-- यह एक आयताकार है
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उग
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इसे इस प्रकार गणना किया जाता है:
कुल सतही क्षेत्रफल सूत्र
सिलिंडर का कुल सतही क्षेत्रफल उसके दो गोलाकार आधारों के क्षेत्रफल और पार्श्व सतही क्षेत्रफल का योग होता है। इसे गणना करने के लिए नीचे सूत्र है:
कुल सतही क्षेत्रफल = 2πr² + 2πrh
जहां:
rआधार की त्रिज्या हैhसिलिंडर की ऊँचाई हैπएक स्थिरांक है जो लगभग 3.14159 होता है
सूत्र के प्रत्येक भाग को समझना
2πr² दोनों गोलाकार आधारों का क्षेत्रफल गणना करता है। वृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र πr² होता है। चूंकि दो आधार हैं, आप 2 से गुणा करते हैं। भाग 2πrh पार्श्व सतही क्षेत्रफल के लिए होता है। इसे उस साइड के खुले रूप में सोचा जा सकता है (जो कि एक आयताकार के आकार का है) जहां लंबाई आधार की परिधि है (2πr) और चौड़ाई ऊँचाई है (h)।
स्टेप-बाय-स्टेप उदाहरण
आओ इसे साथ मिलकर हल करें!
3 सेमी की त्रिज्या और 5 सेमी की ऊँचाई वाले सिलिंडर पर विचार करें। इसके सतही क्षेत्रफल को खोजने के लिए सूत्र का प्रयोग करें।
- गोलाकार आधारों का क्षेत्रफल गणना करें:
2πr² = 2 * π * 3² = 2 * 3.14159 * 9 = 56.54867 सेमी² - पार्श्व सतही क्षेत्रफल गणना करें:
2πrh = 2 * π * 3 * 5 = 2 * 3.14159 * 15 = 94.2477 सेमी² - कुल सतही क्षेत्रफल पाने के लिए दो परिणाम जोड़ें:
कुल सतही क्षेत्रफल = 56.54867 + 94.2477 = 150.79637 सेमी²
एक और उदाहरण
मान लें कि एक बेलनाकार जल टैंक की त्रिज्या 7 मीटर और ऊँचाई 10 मीटर है। सतही क्षेत्रफल की गणना करें।
- गोलाकार आधारों का क्षेत्रफल गणना करें:
2πr² = 2 * π * 7² = 2 * 3.14159 * 49 = 307.87698 मी² - पार्श्व सतही क्षेत्रफल गणना करें:
2πrh = 2 * π * 7 * 10 = 2 * 3.14159 * 70 = 439.82297 मी² - कुल सतही क्षेत्रफल पाने के लिए दो परिणाम जोड़ें:
कुल सतही क्षेत्रफल = 307.87698 + 439.82297 = 747.69995 मी²
इसे और अधिक विस्तार में समझिए
आइए देखें कि ये घटक एक विजुअल प्रारूप में साथ मिलकर कैसे काम करते हैं। कल्पना करें कि आप सिलिंडर के पार्श्व सतह को उसकी ऊँचाई के साथ काटते हैं और इसे समतल करते हैं; आपको एक आयताकार मिलता है जिसमें:
- लंबाई = आधार की परिधि, यानि
2πr - चौड़ाई = सिलिंडर की ऊँचाई =
h
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|साइड | <- आयत: लंबाई = 2πr, चौड़ाई = h
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ओओ <- गोल : क्षेत्रफल = πr² प्रत्येक
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एक सरल अभ्यास के लिए, एक कैन के चारों ओर एक लेबल लपेटने की सोचें। लेबल की लंबाई कैन की परिधि को कवर करती है, और लेबल की ऊँचाई कैन की ऊँचाई के बराबर होती है।
व्यावहारिक अनुप्रयोग
हम सिलिंडर के सतही क्षेत्रफल के बारे में क्यों सीखते हैं? सतही क्षेत्रफल की गणना कैसे करें ये जानना वास्तविक जीवन में बहुत उपयोगी हो सकता है। कुछ अनुप्रयोगों में शामिल हैं:
- एक बेलनाकार कंटेनर बनाने के लिए आवश्यक सामग्री की मात्रा निर्धारित करने के लिए।
- पेंटिंग या कोटिंग कार्य जिसमें आपको जानना चाहिये कि आप कितनी क्षेत्र को कवर करेंगे।
- पैकेजिंग डिज़ाइन, जिसमें यह अनुमान लगाना कि कितनी पैकेजिंग सामग्री की आवश्यकता होगी।
अभ्यास समस्याएं
- 4 सेमी की त्रिज्या और 6 सेमी की ऊँचाई वाले सिलिंडर का कुल सतही क्षेत्रफल खोजें।
- एक सूप कैन की ऊँचाई 10 सेमी और त्रिज्या 3.5 सेमी है। इसका सतही क्षेत्रफल क्या है?
- एक रासायनिक ड्रम की त्रिज्या 1.5 मीटर है और ऊँचाई 2 मीटर है। इसका सतही क्षेत्रफल खोजें।
निष्कर्ष
सिलिंडर के सतही क्षेत्रफल की गणना करना आसान है जब हम इसे उसके घटकों में विभाजित कर लेते हैं - दो गोलाकार अधारों और साइड आयत। सतही क्षेत्रफल को समझना और गणना करना किसी भी बेलनाकार आकार से निपटने में अनमोल जानकारी देता है, उपहार रैपिंग से लेकर औद्योगिक अनुप्रयोगों तक।
चाहे आप एक छात्र हों, एक चित्रकार हों, या कोई जो रसद में काम करते हों, सतही क्षेत्रफल को समझने और गणना करने की क्षमता व्यावहारिक दुनिया में एक उपयोगी कौशल है।
छात्रों के लिए अतिरिक्त सुझाव
समस्याओं को हल करते समय और सिलिंडर के सतही क्षेत्रफल के साथ काम करते समय, याद रखें:
- सुनिश्चित करें कि आपकी सभी माप एक ही यूनिट में हों।
- अपनी गणना साफ और सुव्यवस्थित रखें ताकि गलतियों से बचा जा सके।
- विभिन्न त्रिज्याओं और ऊँचाइयों के साथ विभिन्न प्रकार के सिलिंडरों का अभ्यास करें।
- वास्तविक दुनिया की वस्तुओं का उपयोग करके समझ को बढ़ाने के लिए विचार करें।
प्रैक्टिस के साथ, सिलिंडर के सतही क्षेत्रफल की गणना एक सरल कार्य बन जाएगा। प्रैक्टिस करते रहें और अन्वेषण करते रहें, और इन गणित के कौशल का उपयोग करके अपने चारों ओर की दुनिया का निरीक्षण और माप करना याद रखें!
अभ्यास समस्याओं के उत्तर
- कुल सतही क्षेत्रफल = 2π(4)² + 2π(4)(6) = 100.53096 + 150.796 = 251.327 वर्ग सेमी
- कुल सतही क्षेत्रफल = 2π(3.5)² + 2π(3.5)(10) = 76.96902 + 219.91149 = 296.8805 वर्ग सेमी
- कुल सतही क्षेत्रफल = 2π(1.5)² + 2π(1.5)(2) = 14.13717 + 18.84956 = 32.98673 मी²
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