घन और घनाभ

घन और घनाभ की अवधारणाओं को समझना माप में आकार और स्थान के बारे में सीखने के लिए महत्वपूर्ण है। ये त्रि-आयामी वस्तुएं हैं जिनकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई होती है। गणित उस गणित की शाखा है जो ज्यामितीय आकृतियों और आकारों के माप जैसे कि लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन से संबंधित है। इस लेख में, हम गहराई से घन और घनाभ के बारीकियों पर चर्चा करेंगे और उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना कैसे करें, यह जानेंगे।

घन और घनाभ का परिचय

पहले, यह जान लेते हैं कि घन और घनाभ क्या होते हैं:

• घनाभ: एक घनाभ एक त्रि-आयामी आकार है जिसमें छह आयताकार चेहरे होते हैं। इसके प्रत्येक कोण समकोण होते हैं। यह एक बॉक्स या आयताकार कंटेनर की तरह दिखता है।
• घन: एक घन एक विशेष प्रकार का घनाभ है जिसमें तीनों आयाम (लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई) समान होते हैं। इससे घन के सभी चेहरे वर्गाकार होते हैं।

घनाभ का दृश्य प्रतिनिधित्व

उपरोक्त आकृति एक घनाभ का दृश्य प्रतिनिधित्व है।

घन का दृश्य प्रतिनिधित्व

उपरोक्त चित्र एक घन का दृश्य प्रतिनिधित्व है।

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल

घनाभ के छह चेहरे होते हैं, जिनमें विपरीत चेहरे समान होते हैं। घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके सभी छह आयताकार चेहरों के क्षेत्रों का योग होता है। यदि घनाभ की लंबाई l, चौड़ाई b और ऊंचाई h है, तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न प्रकार से गणना किया जाता है:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

उदाहरण के लिए, 5 सेमी लंबाई, 3 सेमी चौड़ाई और 4 सेमी ऊंचाई वाले घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(5 * 3 + 3 * 4 + 4 * 5)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(15 + 12 + 20)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(47)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94 वर्ग सेमी

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

चूंकि एक घन अनिवार्य रूप से एक घनाभ है जिसमें सभी पक्ष समान होते हैं, घन का प्रत्येक चेहरा एक वर्ग होता है। यदि घन की भुजा a है, तो घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2

उदाहरण के लिए, यदि एक घन की भुजा 4 सेमी है, तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 42

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 16

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 96 वर्ग सेमी

घनाभ का आयतन

घनाभ का आयतन वह स्थान है जिसे यह घेरता है, इसे इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को गुणा करके निर्धारित किया जा सकता है। यदि घनाभ की लंबाई l, चौड़ाई b और ऊंचाई h है, तो इसका आयतन होगा:

आयतन = l × b × h

उदाहरण के लिए, 5 सेमी लंबाई, 3 सेमी चौड़ाई और 4 सेमी ऊंचाई वाले घनाभ का आयतन ज्ञात करें:

आयतन = 5 × 3 × 4

आयतन = 60 घन सेमी

घन का आयतन

चूंकि एक घन एक विशेष प्रकार का घनाभ है जहां सभी भुजाएं समान होती हैं, एक घन का आयतन उसकी भुजा को तीन बार खुद से गुणा करके प्राप्त होता है। यदि घन की भुजा a है, तो इसका आयतन निम्नलिखित होगा:

आयतन = a3

उदाहरण के लिए, यदि एक घन की भुजा 4 सेमी है, तो इसका आयतन होगा:

आयतन = 43

आयतन = 64 घन सेमी

उदाहरण समस्याएँ

उदाहरण समस्या 1: घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल

ऐसे घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी लंबाई 8 सेमी, चौड़ाई 6 सेमी और ऊंचाई 5 सेमी है।

सूत्र का उपयोग:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

मान प्रतिस्थापन:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(8 * 6 + 6 * 5 + 5 * 8)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(48 + 30 + 40)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(118)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 236 वर्ग सेमी

उदाहरण समस्या 2: घन का आयतन

7 सेमी भुजा वाले घन का आयतन ज्ञात करें।

सूत्र का उपयोग:

आयतन = a3

मान प्रतिस्थापन:

आयतन = 73

आयतन = 343 घन सेमी

उदाहरण समस्या 3: घनाभ का आयतन

ऐसे घनाभ का आयतन ज्ञात करें जिसकी लंबाई 3 सेमी, चौड़ाई 4 सेमी और ऊंचाई 5 सेमी है।

सूत्र का उपयोग:

आयतन = l × b × h

मान प्रतिस्थापन:

आयतन = 3 × 4 × 5

आयतन = 60 घन सेमी

उदाहरण समस्या 4: घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

6 सेमी भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

सूत्र का उपयोग:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2

मान प्रतिस्थापन:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 62

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 36

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 216 वर्ग सेमी

महत्वपूर्ण बातें याद रखने के लिए

• घन एक विशेष प्रकार का घनाभ है, जहाँ लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई समान होते हैं।
• घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6a2 का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
• घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके छह चेहरों के क्षेत्रों को जोड़कर ज्ञात किया जाता है।
• आयतन किसी वस्तु द्वारा घिरे स्थान को मापता है; घनों और घनाभों के लिए, इसे घन इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।
• आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र माप की समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

निष्कर्ष

घन और घनाभ को समझना स्थान और क्षमता से संबंधित समस्याओं से निपटने में मदद करता है। पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्रों को जानकर, एक व्यक्ति कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान कर सकता है। चाहे आपको यह गणना करनी हो कि बॉक्स बनाने के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता है या भंडारण कंटेनर में कितना स्थान बचा हुआ है, ये अवधारणाएँ अत्यधिक उपयोगी हैं।

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