7º ano
  1. Sistema de números  1.1. Inteiros  1.1.1. Propriedades dos inteiros  1.1.2. Operações com inteiros  1.1.3. Inversos aditivos e multiplicativos  1.1.4. Aplicações dos números inteiros  1.2. Números racionais  1.2.1. Definição de números racionais  1.2.2. Propriedades dos números racionais  1.2.3. Operações com números racionais  1.2.4. Forma padrão de números racionais  1.3. Compreendendo decimais no sistema numérico  1.3.1. Operações com decimais  1.3.2. Entendendo frações e decimais  1.4. Potências e expoentes  1.4.1. Leis dos expoentes  1.4.2. Simplificando expressões com expoentes  1.4.3. Entendendo a notação científica  1.5. Raízes  1.5.1. Raiz quadrada  1.5.2. Raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressões em álgebra  2.1.1. Introdução às expressões algébricas  2.1.2. Simplificação de expressões  2.1.3. Avaliando a expressão  2.2. Introdução às equações lineares  2.2.1. Resolvendo equações simples  2.2.2. Aplicações de Equações Lineares  2.3. Identidades algébricas  2.3.1. Expansão usando identidades  2.3.2. Simplificação usando identidades
  3. Razão e proporção  3.1. Compreendendo razões  3.1.1. Entendendo proporções  3.1.2. Compreendendo a simplificação de razões  3.1.3. Razão equivalente  3.2. Compreendendo a razão na matemática  3.2.1. O conceito de proporção  3.2.2. Proporção direta  3.2.3. Compreendendo a proporção inversa  3.3. Compreendendo o método unitário  3.3.1. Resolvendo problemas usando o método unitário
  4. Geometria  4.1. Linhas e ângulos  4.1.1. Tipos de ângulos  4.1.2. Pares de ângulos  4.1.3. Propriedades de linhas paralelas e uma transversal  4.1.4. Introdução aos bissetores de ângulos  4.2. Compreendendo triângulos na geometria  4.2.1. Tipos de triângulos  4.2.2. Propriedade da soma dos ângulos  4.2.3. Introdução às propriedades dos ângulos externos  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Compreendendo a congruência de triângulos  4.3.1. Critérios de conformidade  4.3.2. Aplicações da congruência  4.4. Quadrilátero  4.4.1. Tipos de quadriláteros  4.4.2. Propriedades do paralelogramo  4.4.3. Quadriláteros especiais  4.4.4. Propriedades dos retângulos e losangos
  5. Mensuração  5.1. Compreendendo perímetro e área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Compreendendo a área de um trapézio  5.1.4. Área de um paralelogramo  5.1.5. Área de um círculo  5.1.6. Compreendendo a área de formas compostas  5.2. Área de superfície e volume na medição  5.2.1. Cubo e paralelepípedo  5.2.2. Compreendendo a área de superfície de cilindros  5.2.3. Volume de um prisma e um cilindro  5.2.4. Volume e área de superfície de um cone
  6. Manipulação de dados  6.1. Coleta de dados  6.1.1. Organizando os dados  6.1.2. Distribuição de frequência  6.2. Representação gráfica de dados  6.2.1. Introdução aos Gráficos de Barras  6.2.2. Compreendendo gráficos de barras duplas  6.2.3. Compreendendo gráficos de pizza  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introdução aos gráficos de linha  6.3. Compreendendo a probabilidade na gestão de dados  6.3.1. Compreendendo eventos simples em probabilidade  6.3.2. Probabilidade experimental  6.3.3. Probabilidade teórica
  7. Geometria prática  7.1. Construção de triângulos  7.1.1. Construção de triângulos com comprimentos de lados dados  7.1.2. Construindo um triângulo com lado e ângulo dados  7.1.3. Construção de triângulos retângulos  7.2. Construção de quadrilátero  7.2.1. Dadas medidas laterais e ângulos de um quadrilátero  7.2.2. Construção de paralelogramo e retângulo

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Compreendendo a congruência de triângulos


Na geometria, um triângulo é uma forma especial com três lados e três ângulos. Entender se dois triângulos são semelhantes em tamanho e forma é um conceito importante na matemática. É aqui que a ideia de "congruência" entra em cena. O significado simples de congruência é que os triângulos são semelhantes em tamanho e forma.

Dois triângulos são ditos congruentes se os três lados correspondentes e os três ângulos correspondentes forem exatamente iguais. Quando os triângulos são congruentes, eles podem ser sobrepostos sem lacunas ou sobreposições. Esta característica nos ajuda a medir os ângulos em vários problemas geométricos e permite que as propriedades sejam facilmente previstas.

Critérios para a congruência de triângulos

Existem várias maneiras de provar que dois triângulos são congruentes. Esses são conhecidos como critérios de congruência de triângulos. Aqui, exploraremos os principais critérios:

1. Critério lado-lado-lado (LLL)

De acordo com o critério LLL, dois triângulos são semelhantes se os três lados de um triângulo forem iguais aos três lados do outro triângulo. Imagine dois triângulos cujos lados medem 5 cm, 7 cm e 9 cm de comprimento. Se os lados dos dois triângulos tiverem essas medidas, então a soma dos lados de um triângulo será igual à soma dos lados do outro triângulo, portanto, eles são isomorfos de acordo com o critério LLL.

Exemplo visual:

A B C lado 7 cm lado 9 cm lado 5 cm

2. Critério lado-ângulo-lado (LAL)

O critério LAL afirma que dois triângulos são semelhantes se dois lados e o ângulo entre eles em um triângulo forem iguais a dois lados e o ângulo entre eles no outro triângulo. É importante que o ângulo esteja entre os dois lados que estão sendo comparados.

Exemplo visual:

A B C Ângulo 60° lado 7 cm lado 5 cm

3. Critério ângulo-lado-ângulo (ALA)

De acordo com o critério ALA, se dois ângulos e o lado entre eles em um triângulo forem iguais a dois ângulos e o lado entre eles em outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.

Exemplo visual:

A B C Ângulo 45° Ângulo 70° lado 7 cm

4. Critério ângulo-ângulo-lado (AAL)

Semelhante ao ALA, o critério AAL indica que dois triângulos são congruentes se dois ângulos e um lado não incluído (não entre dois ângulos) em um triângulo forem iguais a dois ângulos e um lado não incluído no outro triângulo.

Exemplo visual:

A B C Ângulo 45° Ângulo 70° lado 8 cm

5. Critério ângulo reto-hipotenusa-lado (ARL)

Este critério se aplica apenas a triângulos retângulos. Dois triângulos retângulos são congruentes se a hipotenusa e outro lado de um triângulo forem iguais à hipotenusa e outro lado do outro triângulo.

Exemplo visual:

A B C Orelha lado 6 cm

Nota: Quando dois triângulos são semelhantes, é possível mapear um no outro por rotação, reflexão e translação. Isso significa que se você rearranjar ou girar um triângulo, ele irá se sobrepor perfeitamente ao outro triângulo.

Exemplos de congruência de triângulos

Exemplo 1: Congruência LLL

Considere os triângulos ABC e DEF onde:

  • Lado AB = Lado DE
  • Lado BC = Lado EF
  • Lado CA = Lado FD
Triângulo ABC
A
,
,
B-------C

Triângulo DEF
D
,
,
E----F

Como os três lados de ABC são iguais aos três lados de DEF, portanto, os triângulos ABC e DEF são congruentes pelo critério LLL.

Exemplo 2: Conformidade LAL

Os triângulos XYZ e RST têm as seguintes propriedades:

  • Lado XY = Lado RS
  • Ângulo YZ = Ângulo ST
  • Lado YZ = Lado ST
Triângulo XYZ
X----Y
,
Verde

Triângulo RST
R----S
,
Chá

Isto mostra que de acordo com LAL os triângulos são congruentes porque os dois lados e o ângulo entre eles são iguais.

Por que a congruência é importante

Compreender a congruência é importante porque ajuda a provar as propriedades das formas geometricamente, resolver problemas envolvendo simetria e em muitas tarefas de construção. Triângulos congruentes são usados em aplicações da vida real, como arquitetura, engenharia, gráficos de computador e mais.

Propriedades dos triângulos congruentes

Quando falamos sobre triângulos congruentes, certas propriedades são sempre verdadeiras:

  • Os ângulos correspondentes são iguais.
  • Os lados correspondentes têm o mesmo comprimento.
  • Triângulos congruentes têm a mesma área.
  • O perímetro dos triângulos congruentes também é o mesmo.

Esses aspectos podem ser usados de forma eficaz para resolver vários problemas matemáticos e questões da vida real.

Conclusão

Concluindo, a congruência de triângulos é um conceito importante na geometria que ajuda a determinar a semelhança de formas e tamanhos. Ao dominar os critérios para estabelecer a congruência de triângulos, podemos abordar efetivamente uma ampla gama de desafios geométricos. Lembre-se, congruência é tudo sobre comparar lados e ângulos correspondentes, garantindo que uma forma possa teoricamente ser colocada sobre outra sem quaisquer alterações. Agora que você tem uma compreensão básica da congruência de triângulos, está bem preparado para se aprofundar no fascinante mundo da geometria.


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