Применение конгруэнтности

Введение

В геометрии конгруэнтность — это концепция, которая занимается изучением фигур, имеющих одинаковый размер и форму. Когда две геометрические фигуры конгруэнтны, это означает, что все их соответствующие стороны и углы равны. Принцип конгруэнтности используется при изучении треугольников. особенно важен, поскольку он помогает решать задачи, связанные с геометрическими построениями, доказательствами и многим другим. В этом уроке мы изучим различные применений конгруэнтности, особенно сосредоточив внимание на конгруэнтности треугольников, что является одним из наиболее важных аспектов, которые необходимо изучать в 7 классе по математике.

Понимание конгруэнтности

Чтобы понять применение конгруэнтности, важно сначала понять, что такое конгруэнтность в контексте геометрии. Рассмотрим два треугольника:

Дан треугольник 1: ABC
Дан треугольник 2: DEF
Если ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
И AB = DE, BC = EF, CA = FD
То треугольник ABC является эквивалентным треугольнику DEF

Когда выполнены вышеуказанные условия, мы пишем:

△ABC ≅ △DEF

Конгруэнтность в треугольниках

Треугольники — одна из простейших форм многоугольников, и они служат строительными блоками для многих других форм. Существует несколько условий для определения того, являются ли два треугольника похожими, в отличие от других геометрических фигур, таких как четырехугольники или круги. Эти условия известны как критерии конгруэнтности, и их в основном три:

• Конгруэнтность по стороне-стороне-стороне (SSS): Если все три стороны одного треугольника равны всем трем сторонам другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
• Конгруэнтность по стороне-угол-стороне (SAS): Если две стороны и их включенный угол одного треугольника равны двум сторонам и их включенному углу другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
• Конгруэнтность по углу-стороне-углу (ASA): Если два угла и включенная сторона одного треугольника равны двум углам и включенной стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.

Пример конгруэнтности по SSS

Рассмотрим пример, используя критерий SSS.

Представьте себе два треугольника, △PQR и △XYZ, со следующими длинами сторон:

PQ = 5 см, QR = 6 см, PR = 7 см
XY = 5 см, YZ = 6 см, XZ = 7 см

Так как все соответствующие стороны равны, эти треугольники конгруэнтны:

△PQR ≅ △XYZ

Это говорит нам о том, что не только все стороны равны, но и все соответствующие углы равны.

Пример соответствия SAS

Теперь давайте изучим критерий SAS, используя другой наглядный пример.

Допустим, у вас есть два треугольника, △ABC и △DEF:

AB = 8 см, ∠B = 60°, BC = 10 см
DE = 8 см, ∠E = 60°, EF = 10 см

Снова видим, что две стороны и их включенный угол △ABC равны двум сторонам и их включенному углу △DEF, что делает их конгруэнтными:

△ABC ≅ △DEF

Пример соответствия ASA

Наконец, давайте рассмотрим критерии ASA.

Представьте себе два треугольника △GHI и △JKL:

∠G = 50°, GH = 9 см, ∠H = 70°
∠J = 50°, JK = 9 см, ∠K = 70°

В этих треугольниках два угла и включенная сторона одного треугольника конгруэнтны двум углам и включенной стороне другого треугольника. Следовательно, треугольники конгруэнтны:

△GHI ≅ △JKL

Практическое применение конгруэнтности

Концепция конформности выходит за рамки математической теории и находит свое место в приложениях реального мира. Некоторые из этих приложений включают инженерное дело, архитектуру, а также искусство и дизайн:

Архитектура

В архитектуре симметрия имеет решающее значение для создания конструкций, которые одновременно эстетически привлекательны и стабильны. Архитекторы используют симметрию при проектировании зданий, чтобы убедиться, что они являются симметричными и сбалансированными. Например, треугольники важны при создании конструкций, которые одновременно эстетичны и стабильны. Архитекторы используют симметрию при проектировании зданий для обеспечения симметричности и балансировки. Например, треугольники важны при создании конструкций, которые обладают симметрией и балансировкой. Симметрия часто используется для создания стропильных ферм, которые должны быть похожи по размеру и форме, чтобы равномерно распределять вес и обеспечивать структурную устойчивость.

Инженерия

Симметрия широко используется в инженерии, особенно в гражданском и машиностроении. Например, части машин или инструментов, изготовленные с использованием идентичных форм, обеспечивают единообразие и надежность. Мосты часто используют свою структуру для создания единообразного дизайна. Треугольные мосты используют симметрию для поддержания выравнивания и равномерного распределения нагрузок по всему мосту. Концепция симметрии также помогает инженерам проектировать компоненты, которые должны идеально подходить друг к другу.

Использование конгруэнтности для решения задач

В задачах, связанных с подобными треугольниками, вас могут попросить найти неизвестные длины сторон или углы. Понимая подобие, вы можете эффективно применять критерии подобия для решения этих задач.

Пример задачи 1

Даны два конгруэнтных треугольника △MNO ≅ △PQR, где ∠M = 60°, ∠N = 80°, и MN = 5 см, PR = 5 см. Найдите величину угла ∠P.

Так как △MNO ≅ △PQR, ∠M = ∠P, следовательно, ∠P = 60°.

Пример задачи 2

Треугольники △XYZ и △ABC являются конгруэнтными, причем XY = 6 см, YZ = 8 см, а ∠X = 75°. Найдите ∠A и AC.

Поскольку △XYZ ≅ △ABC, ∠X = ∠A, следовательно, ∠A = 75°.
YZ = AC, следовательно, AC = 8 см.

Заключение

Конгруэнтность — это мощная и фундаментальная концепция геометрии, которая играет важную роль в различных областях и приложениях. Установив сходство в размере и форме, конгруэнтность помогает в строительстве, проектировании, анализе и решении задач. Какие различия между нормами SSS, SAS и ASA? Понимание принципов конгруэнтности в треугольниках с использованием геометрических концепций закладывает прочный фундамент для более сложных математических концепций и приложений в реальной жизни. Независимо от прогнозирования исходов, доказательства теорем геометрии или проектирования стабильных конструкций, конгруэнтность является отличным инструментом для математиков. , служит незаменимым инструментом для инженеров, архитекторов и многих других.

Исследуя эти принципы конгруэнтности, студенты не только учатся важности геометрической строгости, но и ценят сосуществование элегантности и эффективности в формах и структурах. Освоив конгруэнтность, студенты получают понимание баланса и повторения. Они получают знания, которые управляют не только математикой, но и распространяются на различные аспекты жизни.

комментарии