Aplicações da congruência

Introdução

Na geometria, a congruência é um conceito que lida com o estudo de figuras que têm o mesmo tamanho e forma. Quando duas figuras geométricas são congruentes, significa que todos os seus lados e ângulos correspondentes são iguais. O princípio da congruência é usado ao estudar triângulos. é particularmente importante, pois ajuda a resolver problemas envolvendo construções geométricas, provas e muito mais. Nesta lição, exploraremos várias aplicações da congruência, focando particularmente na congruência de triângulos, que é um dos aspectos mais importantes a serem estudados na Matemática do 7º ano.

Compreendendo a congruência

Para entender as aplicações da congruência, é importante primeiro entender o que é congruência no contexto da geometria. Considere dois triângulos:

Triângulo 1 dado: ABC
Triângulo 2 dado: DEF
Se ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
E AB = DE, BC = EF, CA = FD
Então o triângulo ABC é equilátero ao triângulo DEF

Quando as condições acima são atendidas, escrevemos:

△ABC ≅ △DEF

Congruência em triângulos

Os triângulos são uma das formas mais simples de polígonos e servem como blocos de construção para muitas outras formas. Existem várias condições para determinar se dois triângulos são semelhantes, ao contrário de outras formas geométricas, como quadriláteros ou círculos. Essas condições são conhecidas como critérios de congruência, e são principalmente três:

• Congruência Lado-Lado-Lado (LLL): Se todos os três lados de um triângulo forem iguais a todos os três lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
• Congruência Lado-Ângulo-Lado (LAL): Se dois lados e seus ângulos incluídos em um triângulo forem iguais a dois lados e seus ângulos incluídos de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
• Congruência Ângulo-Lado-Ângulo (ALA): Se dois ângulos e o lado incluído de um triângulo forem iguais a dois ângulos e o lado incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Exemplo de congruência LLL

Vamos considerar um exemplo usando o critério LLL.

Imagine dois triângulos, △PQR e △XYZ, com as seguintes medidas dos lados:

PQ = 5 cm, QR = 6 cm, PR = 7 cm
XY = 5 cm, YZ = 6 cm, XZ = 7 cm

Como todos os lados correspondentes são iguais, esses triângulos são congruentes:

△PQR ≅ △XYZ

Isso nos diz que não só todos os lados são iguais, mas todos os ângulos correspondentes também são iguais.

Exemplo de conformidade LAL

Agora, vamos explorar o critério LAL usando outro exemplo visual.

Suponha que você tenha dois triângulos, △ABC e △DEF:

AB = 8 cm, ∠B = 60°, BC = 10 cm
DE = 8 cm, ∠E = 60°, EF = 10 cm

Novamente, vemos que dois lados e seus ângulos incluídos de △ABC são iguais a dois lados e seus ângulos incluídos de △DEF, tornando-os congruentes:

△ABC ≅ △DEF

Exemplo de conformidade ALA

Finalmente, vamos dar uma olhada no critério ALA.

Imagine dois triângulos △GHI e △JKL:

∠G = 50°, GH = 9 cm, ∠H = 70°
∠J = 50°, JK = 9 cm, ∠K = 70°

Para esses triângulos, os dois ângulos e o lado incluído de um triângulo são congruentes aos dois ângulos e o lado incluído do outro triângulo. Portanto, os triângulos são congruentes:

△GHI ≅ △JKL

Aplicações práticas da congruência

O conceito de conformidade vai além da teoria matemática e encontra seu lugar em aplicações do mundo real. Algumas dessas aplicações incluem engenharia, arquitetura e até mesmo arte e design:

Arquitetura

Na arquitetura, a simetria é essencial para criar estruturas que sejam esteticamente agradáveis e estáveis. Os arquitetos usam simetria ao projetar edifícios para garantir que sejam simétricos e equilibrados. Por exemplo, os triângulos são importantes para criar estruturas que sejam esteticamente agradáveis e estáveis. Os arquitetos usam simetria ao projetar edifícios para garantir que sejam simétricos e equilibrados. Por exemplo, os triângulos são importantes para criar estruturas que são simétricas e equilibradas. A simetria é frequentemente usada para criar treliças de telhados, que devem ser semelhantes em tamanho e forma para distribuir o peso uniformemente e fornecer estabilidade estrutural.

Engenharia

A simetria é amplamente utilizada na engenharia, especialmente na engenharia civil e mecânica. Por exemplo, peças de máquinas ou ferramentas feitas utilizando formas idênticas garantem uniformidade e confiabilidade. As pontes muitas vezes usam sua estrutura para criar um design uniforme. As pontes triangulares utilizam simetria para manter o alinhamento e distribuir as cargas uniformemente por toda a ponte. O conceito de simetria também ajuda os engenheiros a projetar componentes que precisam se encaixar perfeitamente.

Usando a congruência para resolver problemas

Em problemas envolvendo triângulos semelhantes, você pode ser solicitado a encontrar comprimentos de lados ou ângulos desconhecidos. Ao entender a similitude, você pode aplicar efetivamente os critérios de similitude para resolver esses problemas.

Problema exemplo 1

São dados dois triângulos congruentes △MNO ≅ △PQR, onde ∠M = 60°, ∠N = 80°, e MN = 5 cm, PR = 5 cm. Encontre a medida de ∠P.

Como △MNO ≅ △PQR, ∠M = ∠P, portanto, ∠P = 60°.

Problema exemplo 2

Os triângulos △XYZ e △ABC são congruentes de modo que XY = 6 cm, YZ = 8 cm, e ∠X = 75°. Encontre ∠A e AC.

Como △XYZ ≅ △ABC, ∠X = ∠A, então ∠A = 75°.
YZ = AC, então AC = 8 cm.

Conclusão

A congruência é um conceito poderoso e fundamental na geometria que desempenha um papel vital em várias áreas e aplicações. Ao estabelecer semelhança em tamanho e forma, a congruência ajuda na construção, no design, na análise e na resolução de problemas. Quais são as diferenças entre as normas LLL, LAL e ALA? Compreender os princípios de congruência em triângulos usando conceitos geométricos estabelece uma base sólida para conceitos matemáticos mais complexos e aplicações do mundo real. Sejam prevendo resultados, provando teoremas geométricos ou projetando estruturas estáveis, a congruência é uma ótima ferramenta para matemáticos. , serve como uma ferramenta essencial para engenheiros, arquitetos e muitos outros.

Por meio da exploração desses princípios de congruência, os alunos não apenas aprendem a importância do rigor geométrico, mas também apreciam a coexistência de elegância e eficiência nas formas e estruturas. Ao dominar a congruência, os alunos ganham uma compreensão de equilíbrio e repetição Eles adquirem conhecimentos que não só regem a matemática, mas também se estendem a vários aspectos da vida.

Comentários