合同の応用

はじめに

幾何学において、合同は同じ大きさと形を持つ図形の研究を扱う概念です。2つの幾何学図形が合同である場合、それらの対応するすべての辺と角度が等しいことを意味します。合同の原則は三角形の研究に特に重要であり、幾何学的構造、証明、その他多くの問題を解決するのに役立ちます。このレッスンでは、合同のさまざまな応用について探り、特に三角形の合同に焦点を当てます。これは7年生の数学で学ぶべき最も重要な側面の1つです。

合同を理解する

合同の応用を理解するためには、まず幾何学の文脈での合同が何であるかを理解することが重要です。2つの三角形を考えましょう：

三角形1: ABC
三角形2: DEF
もし ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
そして AB = DE, BC = EF, CA = FD
すると三角形ABCは三角形DEFと合同である

上記の条件が満たされると、次のように書きます：

△ABC ≅ △DEF

三角形の合同

三角形は最も単純な多角形の形式であり、多くの他の形状の構成要素として役立ちます。四辺形や円などの他の幾何学的形状とは異なり、2つの三角形が類似しているかどうかを判断するためのいくつかの条件があります。これらの条件は、合同基準として知られています。そしてそれらは主に3つです：

• 辺-辺-辺（SSS）合同: 1つの三角形の3辺すべてが他の三角形の3辺すべてに等しい場合、それらの三角形は合同です。
• 辺-角-辺（SAS）合同: 2辺と三角形の含まれる角が他の三角形の2辺と含まれる角に等しい場合、それらの三角形は合同です。
• 角-辺-角（ASA）合同: 1つの三角形の2角と含まれる辺が他の三角形の2角と含まれる辺に等しい場合、それらの三角形は合同です。

SSS 合同の例

SSS 基準を使用した例を考えてみましょう。

2つの三角形、△PQR と △XYZ を考え、それぞれの辺の長さは以下の通りです：

PQ = 5 cm, QR = 6 cm, PR = 7 cm
XY = 5 cm, YZ = 6 cm, XZ = 7 cm

対応するすべての辺が等しいので、これらの三角形は合同です：

△PQR ≅ △XYZ

これは、すべての辺が等しいだけでなく、すべての対応する角度も等しいことを示しています。

SAS 合同の例

次に、SAS基準を使用したもう1つの視覚的例を探りましょう。

2つの三角形、△ABC と △DEF を考えます：

AB = 8 cm, ∠B = 60°, BC = 10 cm
DE = 8 cm, ∠E = 60°, EF = 10 cm

再び、△ABC の2辺とその含まれる角度が △DEF の2辺とその含まれる角度に等しいので、これらの三角形は合同です：

△ABC ≅ △DEF

ASA 合同の例

最後に、ASA基準を見てみましょう。

2つの三角形 △GHI と △JKL を考えます：

∠G = 50°, GH = 9 cm, ∠H = 70°
∠J = 50°, JK = 9 cm, ∠K = 70°

これらの三角形について、1つの三角形の2つの角と含まれる辺が他の三角形の2つの角と含まれる辺に等しいため、三角形は合同です：

△GHI ≅ △JKL

合同の実際の応用

合同の概念は数学の理論を超えて拡張され、実世界の応用に見出されています。これらの応用の一部には、エンジニアリング、建築、さらには芸術やデザインがあります：

建築

建築において、対称性は美的に美しく安定した構造を作成するのに不可欠です。建築家は建物を設計するときに、対称性を使用して美的に均衡を保ち、均衡を保つように設計します。例えば、三角形は構造を作成する上で重要であり、美的に美しく、安定していることが求められます。建築家は建物を設計するときに、対称性を使用して美しく均衡を保つように設計します。たとえば、三角形は対称性を使用して屋根のトラスを作成する際に重要であり、形とサイズが均等になって重量を均等に分配し、構造安定性を提供するために重要です。

工学

対称性はエンジニアリングで広く使用されており、特に土木工学や機械工学で使用されます。たとえば、同じ形を使用して作られた機械やツールの部品は、均一性と信頼性を確保します。橋はその構造を使用して均一なデザインを作成することがよくあります。三角形の橋は対称性を使用して、整列を保持し、全体の橋全体で荷重を均等に分配します。対称性の概念は、ぴったりとフィットする必要があるコンポーネントを設計する際にも役立ちます。

合同を使用して問題を解決する

三角形の合同を含む問題では、未知の辺の長さや角度を見つけることが要求されるかもしれません。類似性を理解することで、これらの問題を解決するために効果的に類似性基準を適用できます。

例題1

三角形 △MNO ≅ △PQR が与えられており、∠M = 60°、∠N = 80°、MN = 5 cm、PR = 5 cm です。∠P の測定値を見つけなさい。

△MNO ≅ △PQR なので、∠M = ∠P です。したがって、∠P = 60° です。

例題2

△XYZ と △ABC は合同の三角形であり、XY = 6 cm、YZ = 8 cm、∠X = 75° です。∠A と AC を見つけなさい。

△XYZ ≅ △ABC なので、∠X = ∠A ですので、∠A = 75° です。
YZ = AC なので、AC = 8 cm です。

結論

合同は、様々な分野や応用において重要な役割を果たす、幾何学における強力で基本的な概念です。サイズと形の類似性を確立することにより、合同は建設、設計、分析、問題解決において役立ちます。SSS、SAS、ASA 規範の違いは何ですか？幾何学的概念を使用して三角形の合同の原則を理解することは、より複雑な数学的概念や実際の応用のための強固な基盤を築きます。結果を予測する場合でも、幾何学的定理を証明する場合でも、安定した構造を設計する場合でも、合同は数学者にとって優れたツールであり、エンジニアや建築家、多くの他の人々にとって不可欠なツールとして役立ちます。

これらの合同の原則を探求することで、学生は幾何学の厳密さの重要性を学ぶだけでなく、形と構造における優雅さと効率の共存を評価します。合同を習得することで、学生は均衡と反復の理解を得て、数学を支配するだけでなく、日常生活のさまざまな側面にまで広がる知識を獲得します。

コメント