Aplicaciones de la congruencia

Introducción

En geometría, la congruencia es un concepto que trata sobre el estudio de figuras que tienen el mismo tamaño y forma. Cuando dos figuras geométricas son congruentes, significa que todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales. El principio de congruencia se utiliza al estudiar triángulos. es particularmente importante, ya que ayuda a resolver problemas que involucran construcciones geométricas, pruebas y mucho más. En esta lección, exploraremos varias aplicaciones de la congruencia, centrándonos particularmente en la congruencia de triángulos, que es uno de los aspectos más importantes a estudiar en Matemáticas de 7º grado.

Comprensión de la congruencia

Para entender las aplicaciones de la congruencia, es importante primero comprender qué es la congruencia en el contexto de la geometría. Consideremos dos triángulos:

Triángulo 1 dado: ABC
Triángulo 2 dado: DEF
Si ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
Y AB = DE, BC = EF, CA = FD
Entonces el triángulo ABC es equilátero al triángulo DEF

Cuando se cumplen las condiciones anteriores, escribimos:

△ABC ≅ △DEF

Congruencia en triángulos

Los triángulos son una de las formas más simples de polígonos y sirven como bloques de construcción para muchas otras formas. Existen varias condiciones para determinar si dos triángulos son similares, a diferencia de otras formas geométricas como cuadriláteros o círculos. Estas condiciones son conocidas como criterios de congruencia, y son principalmente tres:

• Congruencia Lado-Lado-Lado (LLL): Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
• Congruencia Lado-Ángulo-Lado (LAL): Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
• Congruencia Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Ejemplo de congruencia LLL

Consideremos un ejemplo utilizando el criterio LLL.

Imagina dos triángulos, △PQR y △XYZ, con las siguientes medidas de lados:

PQ = 5 cm, QR = 6 cm, PR = 7 cm
XY = 5 cm, YZ = 6 cm, XZ = 7 cm

Dado que todos los lados correspondientes son iguales, estos triángulos son congruentes:

△PQR ≅ △XYZ

Esto nos dice que no solo todos los lados son iguales, sino que todos los ángulos correspondientes también son iguales.

Ejemplo de conformidad LAL

Ahora, exploremos Criterios LAL utilizando otro ejemplo visual.

Supongamos que tienes dos triángulos, △ABC y △DEF:

AB = 8 cm, ∠B = 60°, BC = 10 cm
DE = 8 cm, ∠E = 60°, EF = 10 cm

Nuevamente, vemos que dos lados y el ángulo comprendido de △ABC son iguales a dos lados y el ángulo comprendido de △DEF, haciéndolos congruentes:

△ABC ≅ △DEF

Ejemplo de conformidad ALA

Finalmente, echemos un vistazo a los criterios ALA.

Imagina dos triángulos △GHI y △JKL:

∠G = 50°, GH = 9 cm, ∠H = 70°
∠J = 50°, JK = 9 cm, ∠K = 70°

Para estos triángulos, los dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son congruentes con los dos ángulos y el lado comprendido del otro triángulo. Por lo tanto, los triángulos son congruentes:

△GHI ≅ △JKL

Aplicaciones prácticas de la congruencia

El concepto de conformidad se extiende más allá de la teoría matemática y encuentra su lugar en aplicaciones del mundo real. Algunas de estas aplicaciones incluyen ingeniería, arquitectura, e incluso arte y diseño:

Arquitectura

En arquitectura, la simetría es esencial para crear estructuras que sean tanto estéticamente agradables como estables. Los arquitectos utilizan la simetría al diseñar edificios para asegurarse de que sean simétricos y equilibrados. Por ejemplo, los triángulos son importantes en la creación de estructuras que son tanto estéticamente agradables como estables. Los arquitectos utilizan la simetría al diseñar edificios para asegurarse de que sean simétricos y equilibrados. Por ejemplo, los triángulos son importantes en la creación de estructuras que son tanto simétricas como equilibradas. La simetría se utiliza a menudo para crear cerchas de techo, que deben ser similares en tamaño y forma para distribuir el peso de manera uniforme y proporcionar estabilidad estructural.

Ingeniería

La simetría se utiliza ampliamente en ingeniería, especialmente en ingeniería civil y mecánica. Por ejemplo, partes de máquinas o herramientas hechas usando formas idénticas aseguran uniformidad y confiabilidad. Los puentes a menudo usan su estructura para crear un diseño uniforme. Los puentes triangulares utilizan la simetría para mantener la alineación y distribuir las cargas de manera uniforme a lo largo de todo el puente. El concepto de simetría también ayuda a los ingenieros a diseñar componentes que necesitan encajar perfectamente entre sí.

Uso de la congruencia para resolver problemas

En problemas que involucran triángulos similares, se te puede pedir que encuentres longitudes de lados o ángulos desconocidos. Al comprender la similitud, puedes aplicar efectivamente los criterios de similitud para resolver estos problemas.

Problema de ejemplo 1

Se dan dos triángulos congruentes △MNO ≅ △PQR, donde ∠M = 60°, ∠N = 80°, y MN = 5 cm, PR = 5 cm. Encuentra la medida de ∠P.

Dado que △MNO ≅ △PQR, ∠M = ∠P, por lo tanto, ∠P = 60°.

Problema de ejemplo 2

△XYZ y △ABC son triángulos congruentes tales que XY = 6 cm, YZ = 8 cm, y ∠X = 75°. Encuentra ∠A y AC.

Dado que △XYZ ≅ △ABC, ∠X = ∠A, así que ∠A = 75°.
YZ = AC, así que AC = 8 cm.

Conclusión

La congruencia es un concepto poderoso y fundamental en geometría que juega un papel vital en diversos campos y aplicaciones. Al establecer la similitud en tamaño y forma, la congruencia ayuda en la construcción, el diseño, el análisis y la resolución de problemas. ¿Cuáles son las diferencias entre las normas LLL, LAL y ALA? Comprender los principios de congruencia en triángulos usando conceptos geométricos establece una base sólida para conceptos matemáticos más complejos y aplicaciones del mundo real. Ya sea prediciendo resultados, demostrando teoremas geométricos o diseñando estructuras estables, la congruencia es una gran herramienta para matemáticos. , sirve como una herramienta esencial para ingenieros, arquitectos, y muchos otros.

A través de la exploración de estos principios de congruencia, los estudiantes no solo aprenden la importancia del rigor geométrico, sino que también aprecian la coexistencia de elegancia y eficiencia en formas y estructuras. Al dominar la congruencia, los estudiantes adquieren un entendimiento del equilibrio y la repetición Adquieren conocimiento que no solo gobierna las matemáticas sino que también se extiende a varios aspectos de la vida.

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