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Critérios de conformidade
Na geometria, é importante compreender o conceito de congruência, especialmente ao lidar com triângulos. Triângulos congruentes são triângulos que são iguais em forma e tamanho, significando que todos os lados e ângulos correspondentes são iguais. Para determinar se dois triângulos são congruentes, podemos usar critérios específicos também conhecidos como regras de congruência.
O que é congruência?
Congruência na geometria significa que duas figuras ou objetos são iguais em forma e tamanho. Quando se trata de triângulos, congruência significa que todos os lados e ângulos de um triângulo são exatamente iguais aos lados e ângulos correspondentes de outro triângulo.
Importância dos triângulos congruentes
Triângulos semelhantes têm aplicações importantes em várias áreas, incluindo engenharia, arquitetura e até arte. Eles são usados para garantir uniformidade e estabilidade. Por exemplo, na construção de estruturas, triângulos semelhantes podem ajudar a criar projetos estáveis e equilibrados.
Critérios de congruência em triângulos
Existem vários critérios para estabelecer a congruência de triângulos. Esses critérios baseiam-se na igualdade de lados, ângulos ou uma combinação de ambos. Aqui estão os principais critérios:
1. Critério lado-lado-lado (LLL)
De acordo com o critério LLL, se três lados de um triângulo são respectivamente iguais a três lados de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.
Exemplo:
Se no triângulo ABC e no triângulo DEF:
AB = DE,
BC = EF,
AC = DF
Então, de acordo com o critério LLL, o triângulo ABC é equivalente ao triângulo DEF.
2. Critério lado-ângulo-lado (LAL)
De acordo com o critério LAL, se dois lados e o ângulo entre esses lados de um triângulo são respectivamente iguais a dois lados e ao ângulo entre esses lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
Exemplo:
Considere o triângulo PQR e o triângulo XYZ:
PQ = XY,
∠PQR = ∠XYZ,
QR = YZ
Usando o critério LAL, o triângulo PQR é equilátero ao triângulo XYZ.
3. Critério ângulo-lado-ângulo (ALA)
O critério ALA estabelece que se dois ângulos de um triângulo e o lado entre esses ângulos são iguais a dois ângulos e aos lados correspondentes de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.
Exemplo:
Para o triângulo ABC e o triângulo DEF, se:
∠BAC = ∠EDF,
AC = DF,
∠ACB = ∠DFE
Então, de acordo com o critério ALA, o triângulo ABC é equivalente ao triângulo DEF.
4. Critério ângulo-ângulo-lado (AAL)
O critério AAL nos diz que se dois ângulos e um lado não adjacente de um triângulo são iguais aos dois ângulos correspondentes e a um lado de outro triângulo, então os dois triângulos são congruentes.
Exemplo:
Considere o triângulo LMN e o triângulo OPQ onde:
∠LMN = ∠OPQ,
∠MNL = ∠PQR,
MN = PQ
De acordo com o critério AAL, o triângulo LMN é equivalente ao triângulo OPQ.
5. Critério ângulo reto-hipotenusa-lado (AHL)
O critério AHL é específico para triângulos retângulos. Ele afirma que se a hipotenusa e um lado de um triângulo retângulo são iguais à hipotenusa e a um lado de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes.
Exemplo:
Para o triângulo retângulo ABC e o triângulo retângulo DEF:
AC (hipotenusa) = DF,
AB = DE,
Os triângulos são congruentes pelo critério AHL.
Compreendendo partes compatíveis
Quando falamos sobre partes correspondentes de triângulos semelhantes, referimo-nos a partes (lados ou ângulos) que correspondem em posição e medida em ambos os triângulos. A frase "partes correspondentes de triângulos semelhantes são iguais" é frequentemente abreviada como CPCTE.
Exemplo:
Nos triângulos congruentes ABC e DEF:
AB = DE,
BC = EF,
AC = DF,
∠A = ∠D,
∠B = ∠E,
∠C = ∠F
Em ambos os triângulos, os lados e ângulos na mesma posição são iguais.
Como provar que triângulos são congruentes?
Para provar que dois triângulos são congruentes, você deve mostrar que todos os aspectos correspondentes satisfazem um dos critérios mencionados acima. Com base nas informações fornecidas, você pode usar LLL, LAL, ALA, AAL ou AHL para determinar a congruência.
Erros comuns
É importante garantir alinhamento total com um critério. Um erro comum é misturar critérios ou assumir conformidade por meio de dados incompletos.
Exemplo incorreto:
Se você conhece dois ângulos e um lado de diferentes locais em dois triângulos, não pode imaginar a congruência a menos que satisfaça um dos critérios específicos como ALA ou AAL.
Problemas de prática
Agora, vamos tentar alguns cenários práticos para determinar se os triângulos são congruentes:
- Os triângulos GHI e JKL são dados:
GH = JK, HI = KL, IG = LJ,Qual critério pode ser usado para provar que eles são idênticos? - Considere os triângulos MON e PQR, há informações suficientes para afirmar que eles são congruentes se:
MO = PQ, ∠MON = ∠PQR, ∠OMN = ∠QRP - Se nos triângulos ABC e XYZ:
AC = XZ, AB = XY, ∠CAB = ∠ZXYEsses triângulos são congruentes?
Conclusão
Compreender os critérios para a congruência de triângulos é fundamental não apenas na geometria, mas também em uma ampla gama de conceitos e aplicações matemáticas. Usando os critérios LLL, LAL, ALA, AAL e AHL, você pode determinar com confiança se dois triângulos são semelhantes em forma e tamanho, abrindo caminhos para um entendimento matemático mais profundo e aplicações no mundo real.
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