Grado 7
  1. Sistema numérico  1.1. Enteros  1.1.1. Propiedades de los enteros  1.1.2. Operaciones con enteros  1.1.3. Inversos aditivos y multiplicativos  1.1.4. Aplicaciones de los enteros  1.2. Números racionales  1.2.1. Definición de números racionales  1.2.2. Propiedades de los números racionales  1.2.3. Operaciones con números racionales  1.2.4. Forma estándar de números racionales  1.3. Entendiendo los decimales en el sistema numérico  1.3.1. Operaciones con decimales  1.3.2. Entendiendo fracciones y decimales  1.4. Poderes y exponentes  1.4.1. Leyes de exponentes  1.4.2. Simplificando expresiones con exponentes  1.4.3. Comprendiendo la notación científica  1.5. Raíces  1.5.1. Raíz cuadrada  1.5.2. Raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresiones en álgebra  2.1.1. Introducción a las expresiones algebraicas  2.1.2. Simplificación de expresiones  2.1.3. Evaluación de la expresión  2.2. Introducción a las ecuaciones lineales  2.2.1. Resolviendo ecuaciones simples  2.2.2. Aplicaciones de las Ecuaciones Lineales  2.3. Identidades algebraicas  2.3.1. Expansión usando identidades  2.3.2. Simplificación usando identidades
  3. Razón y proporción  3.1. Entendiendo las proporciones  3.1.1. Entendiendo las proporciones  3.1.2. Entendiendo la simplificación de razones  3.1.3. Ratio equivalente  3.2. Entendiendo la proporción en matemáticas  3.2.1. El concepto de proporción  3.2.2. Proporción directa  3.2.3. Entendiendo la proporción inversa  3.3. Comprendiendo el método unitario  3.3.1. Resolver problemas usando el método unitario
  4. Geometría  4.1. Líneas y ángulos  4.1.1. Tipos de ángulos  4.1.2. Pares de ángulos  4.1.3. Propiedades de las líneas paralelas y una transversal  4.1.4. Introducción a las bisectrices de ángulos  4.2. Entendiendo los triángulos en geometría  4.2.1. Tipos de triángulos  4.2.2. Propiedad de la suma de ángulos  4.2.3. Introducción a las propiedades del ángulo exterior  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Entendiendo la congruencia de triángulos  4.3.1. Criterios de conformidad  4.3.2. Aplicaciones de la congruencia  4.4. Cuadrilátero  4.4.1. Tipos de cuadriláteros  4.4.2. Propiedades del paralelogramo  4.4.3. Cuadriláteros especiales  4.4.4. Propiedades de los rectángulos y rombos
  5. Mensuración  5.1. Comprendiendo el perímetro y el área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Comprender el área de un trapezoide  5.1.4. Área del paralelogramo  5.1.5. Área de un círculo  5.1.6. Comprensión del área de formas compuestas  5.2. Área de superficie y volumen en medición  5.2.1. Cubo y cuboide  5.2.2. Comprender el área de superficie de los cilindros  5.2.3. Volumen de un prisma y un cilindro  5.2.4. Volumen y área superficial de un cono
  6. Manejo de datos  6.1. Recolección de datos  6.1.1. Organizar los datos  6.1.2. Distribución de frecuencia  6.2. Representación gráfica de datos  6.2.1. Introducción a los Gráficos de Barras  6.2.2. Comprender los gráficos de barras dobles  6.2.3. Entendiendo los gráficos de pastel  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introducción a los gráficos de líneas  6.3. Entendiendo la probabilidad en la gestión de datos  6.3.1. Comprender eventos simples en probabilidad  6.3.2. Probabilidad experimental  6.3.3. Probabilidad teórica
  7. Geometría práctica  7.1. Construcción de triángulos  7.1.1. Construcción de triángulos con longitudes de lados dadas  7.1.2. Construcción de un triángulo con lado y ángulo dados  7.1.3. Construcción de triángulos rectángulos  7.2. Construcción de un cuadrilátero  7.2.1. Dado el largo de los lados y los ángulos de un cuadrilátero  7.2.2. Construcción de paralelogramos y rectángulos

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Proporción directa


La proporción directa es un concepto fundamental en matemáticas donde dos cantidades aumentan o disminuyen juntas manteniendo una relación constante. Por lo general, se introduce en el grado 7 bajo el tema más amplio de razón y proporción. Entender la proporción directa implica reconocer cómo las cantidades se relacionan entre sí de una manera predecible.

Comprendiendo la proporción directa

Imagina que tienes dos variables, x e y. En la proporción directa, a medida que x aumenta, y también aumenta al mismo ritmo, o si x disminuye, y disminuye de la misma manera. Lo principal es que la razón de y a x se mantiene constante. Matemáticamente, esto puede expresarse como:

    y = kx

Aquí, k es la constante de proporcionalidad. Es el factor que conecta y e x. Mientras k se mantenga igual, la relación entre y e x es directamente proporcional.

Ejemplos de proporción directa en la vida real

La proporción directa existe en muchas situaciones de la vida real. Entender estos ejemplos puede ayudar a comprender la aplicación práctica del concepto:

Ejemplo 1: Ingredientes de una receta

Considera una receta para hacer limonada. Si una receta para hacer un vaso de limonada requiere 2 cucharadas de azúcar, entonces para 2 vasos necesitamos 4 cucharadas de azúcar, para 3 vasos necesitamos 6 cucharadas de azúcar, y así sucesivamente. La relación entre el número de vasos y las cucharadas de azúcar es directamente proporcional. Si denotamos el número de vasos por x y las cucharadas de azúcar por y, obtenemos:

    y = 2x
1 vaso2 vasos3 vasos0

El gráfico anterior muestra una línea recta, que representa una proporción constante. Los puntos (1, 2), (2, 4) y (3, 6) están todos en esta línea, que representa la proporción directa.

Ejemplo 2: Distancia y tiempo con velocidad constante

Cuando un automóvil se mueve a cierta velocidad, la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo tomado para viajar. Por ejemplo, si un automóvil se mueve a una velocidad de 60 kilómetros por hora, recorre 60 kilómetros en 1 hora, 120 kilómetros en 2 horas, y así sucesivamente. Denotamos el tiempo por x y la distancia por y:

    y = 60x

Aquí, 60 es la velocidad constante o constante de proporcionalidad.

Representación gráfica de la proporción directa

La proporción directa se puede entender fácilmente a través de un gráfico. Cuando trazas x e y en el plano de coordenadas, si su relación es de proporción directa, el resultado es una línea recta que pasa por el origen (0,0). La pendiente de esta línea es igual a la constante k.

y = kx0

El gráfico anterior muestra una línea que tiene una pendiente constante, indicando que por cada aumento unitario en x hay un aumento proporcional en y.

Identificación de proporciones directas en la resolución de problemas

Resolver problemas que involucran proporciones directas implica identificar la constante de proporcionalidad y usarla para encontrar los valores desconocidos. Un enfoque paso a paso suele ser el más efectivo:

Paso 1: Identificar las cantidades

Empieza por identificar las cantidades involucradas y determina si su relación es de proporción directa. Lee el problema cuidadosamente y averigua qué variables están cambiando juntas.

Paso 2: Calcular la constante de proporcionalidad

Si conoces los valores de x e y para una situación específica, puedes encontrar la constante k usando lo siguiente:

    k = y / x

Usa esta constante para cualquier otro par de valores en la relación.

Paso 3: Resolver los desconocidos

Usa la fórmula y = kx para resolver valores desconocidos. Sustituye lo que conoces en la ecuación y encuentra lo que no conoces.

Problema de ejemplo: encontrar la cantidad de pintura necesaria

Un tipo de pintura cubre 10 metros cuadrados por litro. ¿Cuánta pintura se necesitará para cubrir 50 metros cuadrados?

Solución: Primero, identifica la relación proporcional entre el área y la pintura. Aquí, el área x es directamente proporcional a la cantidad de pintura y, k = 10 porque se requiere 1 litro de pintura para 10 metros cuadrados.

    y = kx
    y = 1/10 * 50
    y = 5

Por lo tanto, se requieren 5 litros de pintura para cubrir 50 metros cuadrados.

Ejemplos y problemas de práctica

Aquí algunos problemas de práctica para mejorar tu comprensión de las proporciones directas:

Problema 1

Si 3 metros de tela cuestan $18, ¿cuál será el precio de 7 metros de la misma tela?

Solución 1

    Sea k la constante de proporcionalidad para el costo por metro.
    K = 18 / 3 = 6

    Para 7 metros, costo y = k * 7
    y = 6 * 7 = $42

Problema 2

Hay 8 rebanadas en una roti, ¿cuántas rebanadas habrá en 5 rotis?

Solución 2

    Sea el número de rebanadas por pan k.
    k = 8

    Para 5 panes, rebanadas y = k * 5
    y = 8 * 5 = 40 rebanadas

Conclusión

La proporción directa es un concepto simple pero poderoso que describe una relación lineal específica entre dos cantidades. Con práctica, identificar y resolver problemas que involucran proporción directa se vuelve intuitivo, proporcionando una base sólida para conceptos matemáticos más complejos. Recuerda, la esencia de la proporción directa es mantener una relación constante mientras cambias una cantidad para encontrar un cambio correspondiente en la otra. Este entendimiento no solo es importante en entornos académicos, sino que también es muy beneficioso en una variedad de situaciones de la vida real.


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