7º ano
  1. Sistema de números  1.1. Inteiros  1.1.1. Propriedades dos inteiros  1.1.2. Operações com inteiros  1.1.3. Inversos aditivos e multiplicativos  1.1.4. Aplicações dos números inteiros  1.2. Números racionais  1.2.1. Definição de números racionais  1.2.2. Propriedades dos números racionais  1.2.3. Operações com números racionais  1.2.4. Forma padrão de números racionais  1.3. Compreendendo decimais no sistema numérico  1.3.1. Operações com decimais  1.3.2. Entendendo frações e decimais  1.4. Potências e expoentes  1.4.1. Leis dos expoentes  1.4.2. Simplificando expressões com expoentes  1.4.3. Entendendo a notação científica  1.5. Raízes  1.5.1. Raiz quadrada  1.5.2. Raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressões em álgebra  2.1.1. Introdução às expressões algébricas  2.1.2. Simplificação de expressões  2.1.3. Avaliando a expressão  2.2. Introdução às equações lineares  2.2.1. Resolvendo equações simples  2.2.2. Aplicações de Equações Lineares  2.3. Identidades algébricas  2.3.1. Expansão usando identidades  2.3.2. Simplificação usando identidades
  3. Razão e proporção  3.1. Compreendendo razões  3.1.1. Entendendo proporções  3.1.2. Compreendendo a simplificação de razões  3.1.3. Razão equivalente  3.2. Compreendendo a razão na matemática  3.2.1. O conceito de proporção  3.2.2. Proporção direta  3.2.3. Compreendendo a proporção inversa  3.3. Compreendendo o método unitário  3.3.1. Resolvendo problemas usando o método unitário
  4. Geometria  4.1. Linhas e ângulos  4.1.1. Tipos de ângulos  4.1.2. Pares de ângulos  4.1.3. Propriedades de linhas paralelas e uma transversal  4.1.4. Introdução aos bissetores de ângulos  4.2. Compreendendo triângulos na geometria  4.2.1. Tipos de triângulos  4.2.2. Propriedade da soma dos ângulos  4.2.3. Introdução às propriedades dos ângulos externos  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Compreendendo a congruência de triângulos  4.3.1. Critérios de conformidade  4.3.2. Aplicações da congruência  4.4. Quadrilátero  4.4.1. Tipos de quadriláteros  4.4.2. Propriedades do paralelogramo  4.4.3. Quadriláteros especiais  4.4.4. Propriedades dos retângulos e losangos
  5. Mensuração  5.1. Compreendendo perímetro e área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Compreendendo a área de um trapézio  5.1.4. Área de um paralelogramo  5.1.5. Área de um círculo  5.1.6. Compreendendo a área de formas compostas  5.2. Área de superfície e volume na medição  5.2.1. Cubo e paralelepípedo  5.2.2. Compreendendo a área de superfície de cilindros  5.2.3. Volume de um prisma e um cilindro  5.2.4. Volume e área de superfície de um cone
  6. Manipulação de dados  6.1. Coleta de dados  6.1.1. Organizando os dados  6.1.2. Distribuição de frequência  6.2. Representação gráfica de dados  6.2.1. Introdução aos Gráficos de Barras  6.2.2. Compreendendo gráficos de barras duplas  6.2.3. Compreendendo gráficos de pizza  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introdução aos gráficos de linha  6.3. Compreendendo a probabilidade na gestão de dados  6.3.1. Compreendendo eventos simples em probabilidade  6.3.2. Probabilidade experimental  6.3.3. Probabilidade teórica
  7. Geometria prática  7.1. Construção de triângulos  7.1.1. Construção de triângulos com comprimentos de lados dados  7.1.2. Construindo um triângulo com lado e ângulo dados  7.1.3. Construção de triângulos retângulos  7.2. Construção de quadrilátero  7.2.1. Dadas medidas laterais e ângulos de um quadrilátero  7.2.2. Construção de paralelogramo e retângulo

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Identidades algébricas


Álgebra é uma área fascinante da matemática que envolve trabalhar com variáveis e constantes. Em seu núcleo, a álgebra nos ajuda a resolver problemas e entender padrões. Um dos conceitos essenciais em álgebra é "identidades algébricas", que são equações que são verdadeiras para todos os valores das variáveis presentes. Elas são como chaves mestras para vários problemas algébricos, nos dando as ferramentas para expandir expressões, simplificar, fatorar e mais.

Compreendendo identidades algébricas

Identidades algébricas são expressões que são as mesmas para quaisquer valores das variáveis. Elas são sempre verdadeiras e podem ser usadas como atalhos para simplificar expressões ou resolver equações. Ao contrário de equações, onde procuramos soluções específicas, as identidades são universalmente verdadeiras.

Identidades algébricas básicas

Vamos dar uma olhada em algumas identidades algébricas comuns. Uma vez que você aprenda estas, você será capaz de resolver muitos tipos de problemas algébricos com facilidade.

Identidade 1: Soma dos quadrados

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Esta identidade nos diz como expandir o quadrado de um binômio. Vamos entender isso através de um exemplo:

(x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9

Aqui, x é como a e 3 é como b. Esta identidade nos ajuda a expandir o quadrado do binômio.

Identidade 2: Diferença dos quadrados

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Semelhante à soma dos quadrados, esta identidade ajuda a expandir o quadrado de um binômio quando o segundo termo é subtraído. Vamos ver com um exemplo:

(y - 4)^2 = y^2 - 2(y)(4) + 4^2 = y^2 - 8y + 16

Identidade 3: Produto da soma e diferença

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Esta é chamada de fórmula para a diferença dos quadrados. Ela mostra que multiplicar a soma e a diferença de dois números resulta na diferença entre os quadrados desses números. Por exemplo:

(m + n)(m - n) = m^2 - n^2

Visualizando identidades

O entendimento visual ajuda a solidificar essas identidades. Considere a identidade (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Você pode vê-la assim:

a^2 Now Now b^2 B A B A B

No esquema acima, o quadrado grande representa (a + b)^2. Ele é composto por um quadrado de a^2, dois retângulos de ab, e um quadrado de b^2. Este método visual ajuda a ver como a fórmula funciona porque revela as áreas dos retângulos e quadrados.

Identidades algébricas adicionais

Identidade 4: O cubo da soma

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Esta identidade expande o cubo de uma soma e mostra como (a + b)^3 se transforma em componentes individuais. Aqui está um exemplo para melhor compreensão:

(x + 2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8

Identidade 5: O cubo da diferença

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Esta identidade é o inverso do cubo de uma soma. Ela permite a expansão do cubo de uma subtração:

(y - 1)^3 = y^3 - 3(y^2)(1) + 3(y)(1^2) - 1^3 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1

Identidade 6: Soma dos cubos

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Ao lidar com a soma de dois cubos, esta identidade é muito útil. Ela fatora a expressão em algo que é mais fácil de resolver.

27^3 + 8^3 = (27 + 8)(27^2 - 27*8 + 8^2)

Identidade 7: Diferença dos cubos

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Semelhante à soma dos cubos, esta identidade é usada para fatorar a diferença dos cubos:

64^3 - 27^3 = (64 - 27)(64^2 + 64*27 + 27^2)

Por que as identidades algébricas são importantes

As identidades algébricas tornam o trabalho matemático mais simples e curto. Elas ajudam a fatorar equações algébricas complexas, resolver expressões polinomiais, e até mesmo em cálculo. Compreender estas identidades é como um conjunto de ferramentas que pode configurar estruturas matemáticas complexas de maneira lógica mais facilmente.

Praticando com identidade

Aqui está um desafio: Prove que (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 é verdade para x = 3 e y = 4 Vá passo a passo e tente usar visuais se possível.

Comece substituindo os números x = 3 e y = 4 na identidade:

(3 + 4)^2 = 3^2 + 2(3)(4) + 4^2

Calcule separadamente:

LHS: (3 + 4)^2 = 7^2 = 49 RHS: 3^2 + 2(3)(4) + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49

Ambos os lados da equação são iguais, o que confirma a validade da identidade mesmo quando os valores são inseridos.

Resumo

Aprender identidades algébricas abre a porta para gerenciar expressões matemáticas de forma eficaz. Desde expandir expressões polinomiais até simplificar equações, dominar essas identidades equipa jovens mentes com a capacidade de resolver problemas complexos de uma maneira mais simples. Continue praticando e aproveite essas identidades ao máximo enquanto você se aprofunda no mundo da álgebra.


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