Grado 7
  1. Sistema numérico  1.1. Enteros  1.1.1. Propiedades de los enteros  1.1.2. Operaciones con enteros  1.1.3. Inversos aditivos y multiplicativos  1.1.4. Aplicaciones de los enteros  1.2. Números racionales  1.2.1. Definición de números racionales  1.2.2. Propiedades de los números racionales  1.2.3. Operaciones con números racionales  1.2.4. Forma estándar de números racionales  1.3. Entendiendo los decimales en el sistema numérico  1.3.1. Operaciones con decimales  1.3.2. Entendiendo fracciones y decimales  1.4. Poderes y exponentes  1.4.1. Leyes de exponentes  1.4.2. Simplificando expresiones con exponentes  1.4.3. Comprendiendo la notación científica  1.5. Raíces  1.5.1. Raíz cuadrada  1.5.2. Raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresiones en álgebra  2.1.1. Introducción a las expresiones algebraicas  2.1.2. Simplificación de expresiones  2.1.3. Evaluación de la expresión  2.2. Introducción a las ecuaciones lineales  2.2.1. Resolviendo ecuaciones simples  2.2.2. Aplicaciones de las Ecuaciones Lineales  2.3. Identidades algebraicas  2.3.1. Expansión usando identidades  2.3.2. Simplificación usando identidades
  3. Razón y proporción  3.1. Entendiendo las proporciones  3.1.1. Entendiendo las proporciones  3.1.2. Entendiendo la simplificación de razones  3.1.3. Ratio equivalente  3.2. Entendiendo la proporción en matemáticas  3.2.1. El concepto de proporción  3.2.2. Proporción directa  3.2.3. Entendiendo la proporción inversa  3.3. Comprendiendo el método unitario  3.3.1. Resolver problemas usando el método unitario
  4. Geometría  4.1. Líneas y ángulos  4.1.1. Tipos de ángulos  4.1.2. Pares de ángulos  4.1.3. Propiedades de las líneas paralelas y una transversal  4.1.4. Introducción a las bisectrices de ángulos  4.2. Entendiendo los triángulos en geometría  4.2.1. Tipos de triángulos  4.2.2. Propiedad de la suma de ángulos  4.2.3. Introducción a las propiedades del ángulo exterior  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Entendiendo la congruencia de triángulos  4.3.1. Criterios de conformidad  4.3.2. Aplicaciones de la congruencia  4.4. Cuadrilátero  4.4.1. Tipos de cuadriláteros  4.4.2. Propiedades del paralelogramo  4.4.3. Cuadriláteros especiales  4.4.4. Propiedades de los rectángulos y rombos
  5. Mensuración  5.1. Comprendiendo el perímetro y el área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Comprender el área de un trapezoide  5.1.4. Área del paralelogramo  5.1.5. Área de un círculo  5.1.6. Comprensión del área de formas compuestas  5.2. Área de superficie y volumen en medición  5.2.1. Cubo y cuboide  5.2.2. Comprender el área de superficie de los cilindros  5.2.3. Volumen de un prisma y un cilindro  5.2.4. Volumen y área superficial de un cono
  6. Manejo de datos  6.1. Recolección de datos  6.1.1. Organizar los datos  6.1.2. Distribución de frecuencia  6.2. Representación gráfica de datos  6.2.1. Introducción a los Gráficos de Barras  6.2.2. Comprender los gráficos de barras dobles  6.2.3. Entendiendo los gráficos de pastel  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introducción a los gráficos de líneas  6.3. Entendiendo la probabilidad en la gestión de datos  6.3.1. Comprender eventos simples en probabilidad  6.3.2. Probabilidad experimental  6.3.3. Probabilidad teórica
  7. Geometría práctica  7.1. Construcción de triángulos  7.1.1. Construcción de triángulos con longitudes de lados dadas  7.1.2. Construcción de un triángulo con lado y ángulo dados  7.1.3. Construcción de triángulos rectángulos  7.2. Construcción de un cuadrilátero  7.2.1. Dado el largo de los lados y los ángulos de un cuadrilátero  7.2.2. Construcción de paralelogramos y rectángulos

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Identidades algebraicas


El álgebra es un área fascinante de las matemáticas que implica trabajar con variables y constantes. En su núcleo, el álgebra nos ayuda a resolver problemas y comprender patrones. Uno de los conceptos esenciales en el álgebra son las "identidades algebraicas," que son ecuaciones que son verdaderas para todos los valores de las variables presentes. Son como llaves maestras para varios problemas algebraicos, que nos dan las herramientas para expandir expresiones, simplificar, factorizar y más.

Comprendiendo las identidades algebraicas

Las identidades algebraicas son expresiones que son las mismas para cualquier valor de las variables. Siempre son verdaderas y se pueden usar como atajos para simplificar expresiones o resolver ecuaciones. A diferencia de las ecuaciones, donde buscamos soluciones específicas, las identidades son universalmente verdaderas.

Identidades algebraicas básicas

Echemos un vistazo a algunas identidades algebraicas comunes. Una vez que aprendas estas, podrás resolver muchos tipos de problemas algebraicos con facilidad.

Identidad 1: Suma de cuadrados

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Esta identidad nos dice cómo expandir el cuadrado de un binomio. Entendámoslo a través de un ejemplo:

(x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9

Aquí, x es como a y 3 es como b. Esta identidad nos ayuda a expandir el cuadrado del binomio.

Identidad 2: Diferencia de cuadrados

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Similar a la suma de cuadrados, esta identidad ayuda a expandir el cuadrado de un binomio cuando se resta el segundo término. Veamos un ejemplo:

(y - 4)^2 = y^2 - 2(y)(4) + 4^2 = y^2 - 8y + 16

Identidad 3: Producto de suma y diferencia

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Esto se llama la fórmula para la diferencia de cuadrados. Muestra que multiplicar la suma y la diferencia de dos números da la diferencia entre los cuadrados de estos números. Por ejemplo:

(m + n)(m - n) = m^2 - n^2

Visualizando identidades

La comprensión visual ayuda a consolidar estas identidades. Considera la identidad (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Puedes verlo de esta manera:

a^2 Ahora Ahora b^2 B A B A B

En la visualización anterior, el gran cuadrado representa (a + b)^2. Está hecho de un cuadrado de a^2, dos rectángulos de ab, y un cuadrado de b^2. Este método visual ayuda a ver cómo funciona la fórmula porque abre las áreas de los rectángulos y cuadrados.

Identidades algebraicas adicionales

Identidad 4: El cubo de la suma

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Esta identidad expande el cubo de una suma y muestra cómo (a + b)^3 se transforma en componentes individuales. Aquí hay un ejemplo para una mejor comprensión:

(x + 2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8

Identidad 5: El cubo de la diferencia

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Esta identidad es la inversa del cubo de una suma. Permite la expansión del cubo de una resta:

(y - 1)^3 = y^3 - 3(y^2)(1) + 3(y)(1^2) - 1^3 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1

Identidad 6: Suma de cubos

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Cuando se trata de la suma de dos cubos, esta identidad es útil. Factoriza la expresión en algo que es más fácil de resolver.

27^3 + 8^3 = (27 + 8)(27^2 - 27*8 + 8^2)

Identidad 7: Diferencia de cubos

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Similar a la suma de cubos, esta identidad se utiliza para factorizar la diferencia de cubos:

64^3 - 27^3 = (64 - 27)(64^2 + 64*27 + 27^2)

Por qué las identidades algebraicas son importantes

Las identidades algebraicas hacen el trabajo matemático más simple y corto. Ayudan a factorizar ecuaciones algebraicas complejas, resolver expresiones polinómicas e incluso en cálculo. Comprender estas identidades es como un conjunto de herramientas que puede configurar estructuras matemáticas complejas de manera lógica más fácilmente.

Practicando con identidad

Aquí hay un desafío: Demuestra que (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 es verdadero para x = 3 y y = 4. Ve paso a paso y trata de usar visuales si es posible.

Comienza sustituyendo los números x = 3 y y = 4 en la identidad:

(3 + 4)^2 = 3^2 + 2(3)(4) + 4^2

Calcula por separado:

LHS: (3 + 4)^2 = 7^2 = 49 RHS: 3^2 + 2(3)(4) + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49

Ambos lados de la ecuación son iguales, lo que confirma la validez de la identidad incluso cuando se insertan los valores.

Resumen

Aprender identidades algebraicas abre la puerta a manejar expresiones matemáticas de manera efectiva. Desde expandir expresiones polinómicas hasta simplificar ecuaciones, dominar estas identidades equipa a las mentes jóvenes con la capacidad de resolver problemas complejos de una manera más simple. Sigue practicando y aprovecha al máximo estas identidades mientras te adentras más en el mundo del álgebra.


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