Grado 7
  1. Sistema numérico  1.1. Enteros  1.1.1. Propiedades de los enteros  1.1.2. Operaciones con enteros  1.1.3. Inversos aditivos y multiplicativos  1.1.4. Aplicaciones de los enteros  1.2. Números racionales  1.2.1. Definición de números racionales  1.2.2. Propiedades de los números racionales  1.2.3. Operaciones con números racionales  1.2.4. Forma estándar de números racionales  1.3. Entendiendo los decimales en el sistema numérico  1.3.1. Operaciones con decimales  1.3.2. Entendiendo fracciones y decimales  1.4. Poderes y exponentes  1.4.1. Leyes de exponentes  1.4.2. Simplificando expresiones con exponentes  1.4.3. Comprendiendo la notación científica  1.5. Raíces  1.5.1. Raíz cuadrada  1.5.2. Raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresiones en álgebra  2.1.1. Introducción a las expresiones algebraicas  2.1.2. Simplificación de expresiones  2.1.3. Evaluación de la expresión  2.2. Introducción a las ecuaciones lineales  2.2.1. Resolviendo ecuaciones simples  2.2.2. Aplicaciones de las Ecuaciones Lineales  2.3. Identidades algebraicas  2.3.1. Expansión usando identidades  2.3.2. Simplificación usando identidades
  3. Razón y proporción  3.1. Entendiendo las proporciones  3.1.1. Entendiendo las proporciones  3.1.2. Entendiendo la simplificación de razones  3.1.3. Ratio equivalente  3.2. Entendiendo la proporción en matemáticas  3.2.1. El concepto de proporción  3.2.2. Proporción directa  3.2.3. Entendiendo la proporción inversa  3.3. Comprendiendo el método unitario  3.3.1. Resolver problemas usando el método unitario
  4. Geometría  4.1. Líneas y ángulos  4.1.1. Tipos de ángulos  4.1.2. Pares de ángulos  4.1.3. Propiedades de las líneas paralelas y una transversal  4.1.4. Introducción a las bisectrices de ángulos  4.2. Entendiendo los triángulos en geometría  4.2.1. Tipos de triángulos  4.2.2. Propiedad de la suma de ángulos  4.2.3. Introducción a las propiedades del ángulo exterior  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Entendiendo la congruencia de triángulos  4.3.1. Criterios de conformidad  4.3.2. Aplicaciones de la congruencia  4.4. Cuadrilátero  4.4.1. Tipos de cuadriláteros  4.4.2. Propiedades del paralelogramo  4.4.3. Cuadriláteros especiales  4.4.4. Propiedades de los rectángulos y rombos
  5. Mensuración  5.1. Comprendiendo el perímetro y el área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Comprender el área de un trapezoide  5.1.4. Área del paralelogramo  5.1.5. Área de un círculo  5.1.6. Comprensión del área de formas compuestas  5.2. Área de superficie y volumen en medición  5.2.1. Cubo y cuboide  5.2.2. Comprender el área de superficie de los cilindros  5.2.3. Volumen de un prisma y un cilindro  5.2.4. Volumen y área superficial de un cono
  6. Manejo de datos  6.1. Recolección de datos  6.1.1. Organizar los datos  6.1.2. Distribución de frecuencia  6.2. Representación gráfica de datos  6.2.1. Introducción a los Gráficos de Barras  6.2.2. Comprender los gráficos de barras dobles  6.2.3. Entendiendo los gráficos de pastel  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introducción a los gráficos de líneas  6.3. Entendiendo la probabilidad en la gestión de datos  6.3.1. Comprender eventos simples en probabilidad  6.3.2. Probabilidad experimental  6.3.3. Probabilidad teórica
  7. Geometría práctica  7.1. Construcción de triángulos  7.1.1. Construcción de triángulos con longitudes de lados dadas  7.1.2. Construcción de un triángulo con lado y ángulo dados  7.1.3. Construcción de triángulos rectángulos  7.2. Construcción de un cuadrilátero  7.2.1. Dado el largo de los lados y los ángulos de un cuadrilátero  7.2.2. Construcción de paralelogramos y rectángulos

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Simplificación usando identidades


El álgebra puede parecer difícil al principio, pero una vez que entiendes las reglas básicas, se vuelve mucho más fácil manipular y simplificar expresiones. Un poderoso conjunto de reglas en álgebra se relaciona con las identidades. Estas identidades son como fórmulas que simplifican expresiones sin resolverlas. En esta lección, aprenderemos cómo simplificar usando identidades y entender su papel en el álgebra.

¿Qué son las identidades algebraicas?

Las identidades algebraicas son ecuaciones que son verdaderas para todos los valores de las variables involucradas. No deben confundirse con ecuaciones, que son verdaderas solo para ciertos valores de las variables. Las identidades proporcionan una forma de simplificar expresiones o reescribirlas para ayudar a resolver ecuaciones.

Identidades algebraicas generales

Existen varias identidades algebraicas comúnmente utilizadas en álgebra elemental, tales como:

  • (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  • a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

¿Por qué usar identidades?

Las identidades algebraicas ayudan a simplificar expresiones, resolver expresiones algebraicas de manera más eficiente y entender relaciones entre diferentes formas algebraicas. Optimizan procesos y proporcionan ideas sobre cómo las expresiones pueden transformarse y factorizarse en formas más simples o más útiles.

Ejemplo 1: Expansión de una expresión cuadrática

Consideremos un ejemplo simple:

(x + 3)^2

Usando la identidad (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, donde a = x y b = 3, tenemos:

(x + 3)^2 = x^2 + 2*x*3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9
X + 3 (x+3)(x+3) x^2 + 6x + 9

Ejemplo 2: Factorización usando identidades

Considera la expresión:

x^2 - 9

Esta es una diferencia de cuadrados, que puede factorizarse usando la identidad a^2 - b^2 = (a + b)(a - b):

x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)
x^2 - 9 = (x+3)(x-3)

Ejemplo 3: Simplificación de expresiones complejas

Simplifiquemos una expresión compleja usando identidades:

(2x + 5)^2 - (x + 2)^2

Podemos usar la identidad a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) con a = (2x + 5) y b = (x + 2):

(2x + 5)^2 - (x + 2)^2 = [(2x + 5) + (x + 2)][(2x + 5) - (x + 2)] = (3x + 7)(x + 3)
(2x+5)^2 - (x+2)^2 = (3x+7) (x+3)

Uso de identidades para resolver ecuaciones

Las identidades también pueden ser útiles para resolver ecuaciones donde el cálculo directo podría ser engorroso:

Considera la solución:

x^2 + 6x + 9 = 0

El lado izquierdo puede considerarse un cuadrado perfecto:

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

Así que la ecuación se convierte en:

(x + 3)^2 = 0

Por lo tanto, resolviendo para x, obtenemos:

x + 3 = 0 x = -3

Problemas de práctica

  • Simplifica (3a + 4)^2 usando identidades algebraicas.
  • Factoriza la expresión a^2 - 16.
  • Simplifica (x - 5)^2 - (2x - 3)^2.
  • Resuelve la ecuación 4x^2 + 4x + 1 = 0 usando identidades.

Conclusión

Las identidades algebraicas son herramientas importantes en matemáticas. Nos permiten transformar y simplificar expresiones y resolver ecuaciones más fácilmente. Comprender estas identidades y saber cómo aplicarlas eficientemente puede llevar a simplificaciones significativas y aumentar tanto la velocidad como la precisión al resolver problemas matemáticos. Al practicar el uso de identidades, puedes ganar confianza en la manipulación de expresiones algebraicas y volverte más competente en matemáticas.

Estas son solo algunas de las identidades básicas utilizadas para simplificar expresiones. A medida que progreses en tus estudios de matemáticas, especialmente álgebra, encontrarás identidades más complejas y podrás manejar expresiones más complicadas con ellas.


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