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पहचानियों का उपयोग करके विस्तार
बीजगणित गणित की एक आकर्षक शाखा है जो प्रतीकों और उन प्रतीकों को हेरफेर करने के नियमों से संबंधित है। इस पाठ में, हम बीजगणित के एक मौलिक पहलू का अन्वेषण करेंगे जिसे "पहचानियों का उपयोग करके विस्तार" कहा जाता है। छात्र अक्सर इस अवधारणा का सामना करते हैं जब वे बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सीखते हैं। विस्तार का अर्थ है किसी अभिव्यक्ति को विस्तारित रूप में फिर से लिखना। बीजगणितीय पहचानियाँ इस प्रक्रिया को सरल बनाती हैं, क्योंकि वे तैयार किए गए सूत्र प्रदान करती हैं जो हमें अभिव्यक्तियों को जल्दी और सही तरीके से विस्तार करने में मदद करती हैं। इन पहचानों को समझकर और उपयोग करके हम बीजगणितीय समस्याओं को अधिक प्रभावी ढंग से हल कर सकते हैं।
बीजगणितीय पहचानियों को समझना
बीजगणितीय पहचनाएँ वे समीकरण हैं जो शामिल चरों के किसी भी मान के लिए सत्य होती हैं। वे विशेष उपकरणों की तरह होते हैं जो हमें अभिव्यक्तियों को बदलने और सरल बनाने में मदद करते हैं। इन पहचानों का उपयोग अभिव्यक्तियों का विस्तार करने, अभिव्यक्तियों को कारक के रूप में बदलने और यहाँ तक कि समीकरण हल करने में भी किया जाता है। आइए कुछ सामान्य बीजगणितीय पहचानों को देखते हैं जो आमतौर पर कक्षा 7 गणित में पेश की जाती हैं।
कुछ बुनियादी बीजगणितीय पहचानियाँ
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
पहचानियों का उपयोग करके विस्तार की प्रक्रिया
किसी अभिव्यक्ति का विस्तार करना, उसे विस्तारित रूप में लिखने का अर्थ है, जिससे कोष्ठक हट जाते हैं। बीजगणितीय पहचनियाँ हमें यह जल्दी करने में मदद करती हैं। आइए देखें कि हम इन पहचानों का उपयोग कैसे बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल और समझने के लिए स्पष्टीकरण, उदाहरण, और विज़ुअलाइज़ेशन के माध्यम से कर सकते हैं।
उदाहरण 1: (x + 3)^2 का विस्तार
हम पहचान (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 का उपयोग करते हैं।
इस मामले में, a = x और b = 3।
तो, (x + 3)^2 = x^2 + 2*x*3 + 3^2
जिसे सरल किया जाता है x^2 + 6x + 9।
उदाहरण 2: (2y - 5)^2 का विस्तार
हम पहचान (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 का उपयोग करते हैं।
यहाँ, a = 2y और b = 5 है।
तो, (2y - 5)^2 = (2y)^2 - 2 * 2y * 5 + 5^2
जो हमें देता है 4y^2 - 20y + 25।
विस्तार से कल्पना
बीजगणितीय विस्तारों को ज्यामितीय प्रतिनिधित्वों का उपयोग करके भी कल्पना किया जा सकता है, जहाँ वर्गों और आयताकारों के क्षेत्र पहचानों के पदों के अनुरूप होते हैं।
दृश्य उदाहरण 1: (a + b)^2 का विस्तार
संयुक्त क्षेत्रफल है a² + 2ab + b²।
दृश्य उदाहरण 2: (a - b)^2 का विस्तार
संयुक्त क्षेत्रफल है a² - 2ab + b²।
आगे के अनुप्रयोग और उदाहरण
पहचानियों का उपयोग करके विस्तार न केवल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में मदद करता है, बल्कि यह बीजगणितीय समीकरणों को हल करने और ज्यामिति, भौतिकी और अन्य विषयों में समस्याओं को हल करने में भी आवश्यक है।
उदाहरण 3: (p + q)^3 का विस्तार
पहचान का उपयोग करें (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3।
यहाँ, a = p और b = q।
तो, (p + q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3।
उदाहरण 4: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) का उपयोग करना
प्रदत्त अभिव्यक्ति x^2 - 16, ध्यान दें कि यह a^2 - b^2 के रूप में फिट होती है।
यहाँ, a = x और b = 4 है।
इसलिए, x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)।
अभ्यास समस्याएँ
पहचानियों का उपयोग करते हुए विस्तार को समझने के लिए यहाँ कुछ अभ्यास समस्याएँ दी गई हैं:
(m + 7)^2का विस्तार करें।- पहचानियों का उपयोग करके
(3x - 2y)^2का विस्तार करें। (a - 5b)^3का विस्तारित रूप निकालें।- पहचानियों का उपयोग करके सत्यापित करें कि
25x^2 - 9y^2 = (5x + 3y)(5x - 3y)।
निष्कर्ष
बीजगणितीय पहचनियाँ हमें बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को विस्तार करने के लिए त्वरित और विश्वसनीय तरीके प्रदान करती हैं। इन पहचानों को समझना न केवल गणितीय समस्याएँ तेजी से हल करने में मदद करता है, बल्कि उन्नत गणितीय अवधारणाओं के लिए एक मजबूत आधार भी बनाता है। इन विस्तारों का अभ्यास और कल्पना करके, छात्र बीजगणित और उसके अनुप्रयोगों की एक गहरी समझ विकसित कर सकते हैं।
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