Grado 7
  1. Sistema numérico  1.1. Enteros  1.1.1. Propiedades de los enteros  1.1.2. Operaciones con enteros  1.1.3. Inversos aditivos y multiplicativos  1.1.4. Aplicaciones de los enteros  1.2. Números racionales  1.2.1. Definición de números racionales  1.2.2. Propiedades de los números racionales  1.2.3. Operaciones con números racionales  1.2.4. Forma estándar de números racionales  1.3. Entendiendo los decimales en el sistema numérico  1.3.1. Operaciones con decimales  1.3.2. Entendiendo fracciones y decimales  1.4. Poderes y exponentes  1.4.1. Leyes de exponentes  1.4.2. Simplificando expresiones con exponentes  1.4.3. Comprendiendo la notación científica  1.5. Raíces  1.5.1. Raíz cuadrada  1.5.2. Raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresiones en álgebra  2.1.1. Introducción a las expresiones algebraicas  2.1.2. Simplificación de expresiones  2.1.3. Evaluación de la expresión  2.2. Introducción a las ecuaciones lineales  2.2.1. Resolviendo ecuaciones simples  2.2.2. Aplicaciones de las Ecuaciones Lineales  2.3. Identidades algebraicas  2.3.1. Expansión usando identidades  2.3.2. Simplificación usando identidades
  3. Razón y proporción  3.1. Entendiendo las proporciones  3.1.1. Entendiendo las proporciones  3.1.2. Entendiendo la simplificación de razones  3.1.3. Ratio equivalente  3.2. Entendiendo la proporción en matemáticas  3.2.1. El concepto de proporción  3.2.2. Proporción directa  3.2.3. Entendiendo la proporción inversa  3.3. Comprendiendo el método unitario  3.3.1. Resolver problemas usando el método unitario
  4. Geometría  4.1. Líneas y ángulos  4.1.1. Tipos de ángulos  4.1.2. Pares de ángulos  4.1.3. Propiedades de las líneas paralelas y una transversal  4.1.4. Introducción a las bisectrices de ángulos  4.2. Entendiendo los triángulos en geometría  4.2.1. Tipos de triángulos  4.2.2. Propiedad de la suma de ángulos  4.2.3. Introducción a las propiedades del ángulo exterior  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Entendiendo la congruencia de triángulos  4.3.1. Criterios de conformidad  4.3.2. Aplicaciones de la congruencia  4.4. Cuadrilátero  4.4.1. Tipos de cuadriláteros  4.4.2. Propiedades del paralelogramo  4.4.3. Cuadriláteros especiales  4.4.4. Propiedades de los rectángulos y rombos
  5. Mensuración  5.1. Comprendiendo el perímetro y el área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Comprender el área de un trapezoide  5.1.4. Área del paralelogramo  5.1.5. Área de un círculo  5.1.6. Comprensión del área de formas compuestas  5.2. Área de superficie y volumen en medición  5.2.1. Cubo y cuboide  5.2.2. Comprender el área de superficie de los cilindros  5.2.3. Volumen de un prisma y un cilindro  5.2.4. Volumen y área superficial de un cono
  6. Manejo de datos  6.1. Recolección de datos  6.1.1. Organizar los datos  6.1.2. Distribución de frecuencia  6.2. Representación gráfica de datos  6.2.1. Introducción a los Gráficos de Barras  6.2.2. Comprender los gráficos de barras dobles  6.2.3. Entendiendo los gráficos de pastel  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introducción a los gráficos de líneas  6.3. Entendiendo la probabilidad en la gestión de datos  6.3.1. Comprender eventos simples en probabilidad  6.3.2. Probabilidad experimental  6.3.3. Probabilidad teórica
  7. Geometría práctica  7.1. Construcción de triángulos  7.1.1. Construcción de triángulos con longitudes de lados dadas  7.1.2. Construcción de un triángulo con lado y ángulo dados  7.1.3. Construcción de triángulos rectángulos  7.2. Construcción de un cuadrilátero  7.2.1. Dado el largo de los lados y los ángulos de un cuadrilátero  7.2.2. Construcción de paralelogramos y rectángulos

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Expansión usando identidades


El álgebra es una fascinante rama de las matemáticas que se ocupa de los símbolos y las reglas para manipular esos símbolos. En esta lección, exploraremos un aspecto fundamental del álgebra conocido como "expansión utilizando identidades". Los estudiantes a menudo encuentran este concepto al aprender expresiones algebraicas. Expansión significa reescribir una expresión en forma expandida. Las identidades algebraicas simplifican el proceso al proporcionar fórmulas predefinidas que nos ayudan a expandir expresiones rápida y precisamente. Al entender y usar estas identidades, podemos resolver problemas algebraicos de manera más eficiente.

Comprensión de las identidades algebraicas

Las identidades algebraicas son ecuaciones que son verdaderas para cualquier valor de las variables involucradas. Son como herramientas especiales que nos ayudan a transformar y simplificar expresiones. Estas identidades se utilizan para expandir expresiones, factorizar expresiones e incluso resolver ecuaciones. Veamos algunas identidades algebraicas comunes que se introducen generalmente en Matemáticas de Clase 7.

Algunas identidades algebraicas básicas

  • (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  • a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
  • (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Proceso de expansión usando identidades

Expandir una expresión significa escribirla en forma expandida quitando los paréntesis. Las identidades algebraicas nos ayudan a hacer esto rápidamente. Veamos cómo podemos usar estas identidades para simplificar y comprender expresiones algebraicas a través de explicaciones, ejemplos y visualizaciones.

Ejemplo 1: expansión de (x + 3)^2

Usamos la identidad (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

    En este caso, a = x y b = 3.
    Entonces, (x + 3)^2 = x^2 + 2*x*3 + 3^2
    Lo que se simplifica a x^2 + 6x + 9.

Ejemplo 2: expansión de (2y - 5)^2

Usamos la identidad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

    Aquí, a = 2y y b = 5.
    Entonces, (2y - 5)^2 = (2y)^2 - 2 * 2y * 5 + 5^2
    Lo que nos da 4y^2 - 20y + 25.

Imaginación en detalle

Las extensiones algebraicas también se pueden visualizar usando representaciones geométricas, donde las áreas de cuadrados y rectángulos corresponden a los términos de las identidades.

Ejemplo visual 1: expansión de (a + b)^2

A² ab ab B²

El área combinada es a² + 2ab + b².

Ejemplo visual 2: expansión de (a - b)^2

A² -ab -ab B²

El área combinada es a² - 2ab + b².

Aplicaciones y ejemplos adicionales

La expansión mediante identidades no solo ayuda a simplificar expresiones, sino que también es esencial al resolver ecuaciones algebraicas y problemas en geometría, física y otras materias.

Ejemplo 3: expansión de (p + q)^3

Utilice la identidad (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

    Aquí, a = p y b = q.
    Entonces, (p + q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3.

Ejemplo 4: Uso de a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

    Dada la expresión x^2 - 16, observe que se ajusta a la forma a^2 - b^2.
    Aquí, a = x y b = 4.
    Por lo tanto, x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4).

Problemas de práctica

Aquí hay algunos problemas de práctica para solidificar su comprensión de la expansión usando identidades:

  1. Expanda (m + 7)^2.
  2. Utilice identidades para expandir (3x - 2y)^2.
  3. Encuentre la forma expandida de (a - 5b)^3.
  4. Utilice identidades para verificar que 25x^2 - 9y^2 = (5x + 3y)(5x - 3y).

Conclusión

Las identidades algebraicas nos proporcionan formas rápidas y fiables de expandir expresiones algebraicas. Comprender estas identidades no solo ayuda a resolver problemas matemáticos de manera más eficiente, sino que también forma una base sólida para conceptos matemáticos avanzados. Al practicar y visualizar estas expansiones, los estudiantes pueden desarrollar una comprensión más profunda del álgebra y sus aplicaciones.


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