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व्यंजक का मूल्यांकन करना
गणित में, विशेष रूप से बीजगणित में, जब हम व्यंजक का मूल्यांकन करने की बात करते हैं, तो हम जानना चाहते हैं कि जब हम चर को विशिष्ट संख्याओं से बदलते हैं, तब व्यंजक का मान क्या होगा। एक व्यंजक एक गणितीय वाक्यांश है जिसमें संख्याएँ, चर, और गणितीय क्रियाएँ हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, 3x + 2 एक व्यंजक है। इस व्यंजक का मूल्यांकन करते समय, आप चर x को एक निश्चित संख्या से बदलते हैं और अंकगणितीय क्रियाओं का उपयोग करके परिणाम की गणना करते हैं।
चरों की समझ
चलिये पहले ये समझते हैं कि एक चर क्या होता है। बीजगणित में, एक चर एक अक्षर या प्रतीक होता है जिसका उपयोग एक संख्या को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। चर व्यंजकों को लचीला बनाते हैं; वे विभिन्न परिस्थितियों में विभिन्न संख्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। सामान्य चर में x, y, और z जैसे अक्षर शामिल होते हैं।
व्यंजक का मूल्यांकन का सरल उदाहरण
एक सरल व्यंजक पर विचार करें:
x + 5इस व्यंजक का मूल्यांकन x = 3 के लिए करने के लिए, आप x की जगह संख्या 3 को बदलते हैं और जोड़ की क्रिया को करते हैं:
3 + 5 = 8इस प्रकार, जब x = 3, व्यंजक x + 5 का मान 8 होगा।
अनेक चरों के साथ व्यंजक
कभी-कभी, व्यंजकों में एक से अधिक चर हो सकते हैं। इस व्यंजक पर विचार करें:
2x + 3yइस व्यंजक का मूल्यांकन करने के लिए, आपको x और y दोनों के मानों का पता होना चाहिए। मान लें x = 4 और y = 6, फिर मूल्यांकन इस प्रकार होगा:
2(4) + 3(6) = 8 + 18 = 26यहाँ, आप प्रत्येक गुणांक को उसके चर के मान से गुणा करते हैं और फिर मानों को जोड़ते हैं।
क्रियाओं का अनुक्रम
व्यंजकों का मूल्यांकन करते समय, क्रियाओं के क्रम का पालन करना महत्वपूर्ण होता है, जिसे अक्सर PEMDAS (कोष्ठक, घातांक, गुणा और भाग बायाँ से दायाँ, जोड़ और घटाव दायाँ से बायाँ) संक्षेप में याद किया जाता है। इससे यह सुनिश्चित होता है कि व्यंजकों का मूल्यांकन लगातार और सही ढंग से किया जाता है।
इस व्यंजक पर विचार करें:
3 + 2 * 5क्रियाओं के क्रम के अनुसार, पहले गुणा किया जाएगा:
3 + 10 = 132 * 5 का गुणा 3 + 10 के जोड़ से पहले होता है।
कोष्ठकों का उपयोग
कोष्ठक व्यंजक में क्रियाओं के क्रम को बदल सकते हैं। व्यंजक के भागों को समूहित करके, आप गणनाओं के क्रम को बदल सकते हैं।
उदाहरण के लिए, पहले की तरह ही व्यंजक को देखें, लेकिन कोष्ठकों के साथ:
(3 + 2) * 5अब आप पहले कोष्ठकों के अंदर जोड़ करते हैं:
5 * 5 = 25कोष्ठकों के उपयोग से क्रियाओं के क्रम को बदलने से परिणाम भिन्न हो जाता है।
घातांक वाले व्यंजक
घातांक एक संख्या का स्वयं से बार-बार गुणा होने का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, 2^3 एक घातांक है, जो 2 * 2 * 2 को दर्शाता है।
घातांक वाले व्यंजक पर विचार करें:
x^2 + 4यदि x = 3, तो आप प्रतिस्थापित करें और मूल्यांकन करें:
3^2 + 4 = 9 + 4 = 13जटिल व्यंजक
किसी अधिक जटिल व्यंजक का मूल्यांकन करें:
2x^2 - 3xy + y^2मान लें x = 2 और y = 3 इस व्यंजक में इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करें:
2(2^2) - 3(2)(3) + 3^2पहले घातांक की गणना करें:
2(4) - 3(2)(3) + 9फिर गुणा करें:
8 - 18 + 9अंत में, क्रम में जोड़ और घटाव करें:
-10 + 9 = -1इस प्रकार, x और y के दिए गए मूल्यों के लिए व्यंजक का मूल्यांकन -1 होता है।
लाक्षणिक गुणांक
व्यंजकों में लाक्षणिक गुणांक हो सकते हैं, जो चर को गुणा करने वाली संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक 3x + 4y में, 3 और 4 संख्याएँ गुणांक हैं।
5a - 2b + c को मान लें, जहाँ a = 1, b = 2, c = 3:
5(1) - 2(2) + 3पहले गुणन की गणना करें:
5 - 4 + 3अब क्रम में कार्यों को पूरा करें:
1 + 3 = 4मूल्यांकनित मान 4 है।
स्थिरांक की भूमिका
एक स्थिरांक एक स्थिर मान होता है जो बीजगणितीय व्यंजक में होता है। 2x + 5 में, 5 एक स्थिरांक है। स्थिरांक में कोई चर नहीं होता है, इसलिए उनका मान हमेशा वही होता है।
उदाहरण के लिए, 7 + 4x में, 7 x के मान की परवाह किए बिना वही रहता है।
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग
मूल्यांकन करना वास्तविक जीवन में एक उपयोगी दक्षता है। यह आपको विभिन्न मूल्यों और मात्रा के साथ कुल लागत की गणना करने, वैज्ञानिक सूत्रों को समझने, और यहाँ तक कि कंप्यूटर प्रोग्रामों में कोडिंग जैसी समस्याओं को हल करने में मदद करता है।
अभ्यास समस्याएँ
दिए गए मूल्यों के साथ निम्नलिखित व्यंजकों का मूल्यांकन करें:
3x - 2का मूल्यांकनx = 5पर करें।4a + 3bका मूल्यांकनa = 2,b = 1पर करें।x^2 + 2x - 3का मूल्यांकनx = 3पर करें।2x - 4y + zका मूल्यांकनx = 1,y = 3,z = 2पर करें।
अभ्यास समस्याओं का हल
3(5) - 2 = 15 - 2 = 134(2) + 3(1) = 8 + 3 = 113^2 + 2(3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 122(1) - 4(3) + 2 = 2 - 12 + 2 = -8
अभ्यास के साथ, व्यंजक मूल्यांकन करना एक आसान और तेज प्रक्रिया बन जाती है, जिससे आप अधिक जटिल गणितीय समस्याओं को विश्वास के साथ हल कर सकते हैं।
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